Mouvement et lecture de graphiques

La position dépend d'une référence

Un passager assis est au repos par rapport au bus et en mouvement par rapport à la route. Il n'y a pas de contradiction : le mouvement est un changement de position au fil du temps par rapport à un référentiel. En décrivant un corps, indique ce que tu considères comme fixe, l'origine des positions, la direction de l'axe et son sens positif.

Sur une route droite, un seul axe suffit. Nous pouvons choisir l'école comme x = 0 et le sens vers le marché comme positif. Être à x = −30 m signifie être trente mètres du côté opposé au marché ; le signe ne signifie pas une taille négative. Une position est une coordonnée et peut être négative, nulle ou positive.

Le corps peut être représenté par un point matériel si sa taille et sa rotation ne sont pas pertinentes pour la question. Pour étudier le trajet d'un bus entre deux villes, cette approximation peut fonctionner ; pour étudier le passage par une porte étroite, les dimensions comptent. Un modèle est un choix expliqué, et non une photographie complète de l'objet.

Déplacement et distance parcourue

Le déplacement à une dimension vaut Δx = x_f − x_i, en mètres. La lettre grecque Δ indique une variation, toujours la valeur finale moins l'initiale. Si tu passes de x = 10 m à x = −5 m, Δx = −15 m. Le signe indique le sens du changement total entre les deux positions.

La distance parcourue additionne les longueurs de toutes les portions du trajet. Elle n'a pas de signe négatif. Marcher 40 m dans un sens et revenir de 15 m produit une distance de 55 m, mais un déplacement de seulement 25 m dans le sens initial. Si tu reviens au point de départ, le déplacement sera nul malgré l'effort et la distance considérable parcourue.

Connaître seulement les points initial et final ne permet pas de trouver la distance totale. Il nous faut des informations sur le chemin. Dans un mouvement rectiligne sans inversion, la distance égale la norme du déplacement. Cette égalité cesse d'être valable lorsqu'il existe un changement de sens. Cette précaution sera essentielle pour interpréter les aires signées.

Durée et moyennes

La durée vaut Δt = t_f − t_i et se mesure en secondes. L'instant indique quand quelque chose se produit ; la durée indique combien de temps s'écoule entre les événements. Un chronomètre démarré au premier événement donne t_i = 0, mais ce choix n'est pas obligatoire.

La vitesse moyenne vectorielle vaut v_m = Δx/Δt, en m/s. Sur la droite, le signe traduit le sens du déplacement. La vitesse scalaire moyenne vaut distance totale/Δt, aussi en m/s, mais sans direction ni signe négatif. Un même trajet peut avoir une vitesse moyenne vectorielle nulle et une vitesse scalaire moyenne positive. N'utilise pas le mot « vitesse » pour masquer laquelle de ces grandeurs tu as calculée.

Une moyenne résume tout un intervalle et ne révèle pas chaque moment du mouvement. Un trajet avec des arrêts et des accélérations peut avoir la même moyenne qu'un mouvement uniforme. Lorsque les durées des portions diffèrent, la moyenne arithmétique de leurs vitesses ne suffit pas ; additionne d'abord toutes les distances et toutes les durées, y compris les arrêts appartenant à l'intervalle considéré.

Le graphique position-temps possède un langage

Sur un graphique x en fonction de t, l'axe horizontal représente le temps en secondes et le vertical la position en mètres. Chaque point est une paire : la position occupée par le corps à un instant. Relier les points par des segments est une hypothèse sur ce qui s'est produit entre les mesures ; des points isolés ne garantissent pas un mouvement intermédiaire uniforme.

La pente d'une droite est la variation verticale divisée par la variation horizontale : Δx/Δt. Sur le graphique position-temps, la pente d'une sécante donne donc la vitesse moyenne entre deux instants. Une droite croissante correspond à une vitesse positive ; une droite décroissante à une vitesse négative ; une droite horizontale au repos dans ce référentiel.

Une ligne plus inclinée a une plus grande norme de vitesse lorsque les axes gardent la même échelle. La hauteur du graphique n'est pas la valeur de la vitesse : un corps loin de l'origine peut être immobile. Sur un graphique courbe, la pente change ; la tangente locale représente la vitesse instantanée, c'est-à-dire sa valeur à un instant. Tu n'as pas encore besoin de calcul différentiel pour reconnaître cette interprétation.

Le graphique vitesse-temps

L'axe vertical montre maintenant la vitesse, et non la position. Une ligne horizontale au-dessus de zéro représente un mouvement uniforme dans le sens positif. Une ligne horizontale sous zéro représente un mouvement uniforme dans le sens négatif. Elle ne représente pas le repos : le repos exige v = 0. La signification d'une même forme dépend des grandeurs écrites sur les axes.

Pour une vitesse constante, Δx = vΔt. Sur le graphique vitesse-temps, le produit est l'aire du rectangle entre la ligne et l'axe du temps. Pour les portions variables, nous pouvons additionner les aires de rectangles et de triangles. Les aires sous l'axe comptent négativement dans le déplacement ; pour la distance parcourue, on additionne leurs valeurs absolues en séparant les changements de sens.

L'unité de l'aire est (m/s) × s = m, ce qui confirme l'interprétation. Le graphique vitesse-temps permet de connaître les déplacements, mais pour trouver les positions, il faut connaître une position initiale. Deux personnes peuvent avoir des graphiques de vitesse identiques et rester toujours séparées par une distance constante.

Modifier la vitesse et choisir le modèle

L'accélération moyenne vaut a_m = Δv/Δt et se mesure en m/s². Une accélération de 2 m/s² signifie que la vitesse augmente de 2 m/s à chaque seconde, si l'accélération est constante. Sur un graphique vitesse-temps, la pente fournit l'accélération moyenne. Cela diffère de l'aire, qui fournit le déplacement.

Sur une droite, une accélération positive ne signifie pas nécessairement une augmentation de la norme de la vitesse. Si v = −6 m/s et a = +2 m/s², la vitesse se rapproche de zéro et sa valeur absolue diminue jusqu'à l'arrêt. Pour décider si la norme de la vitesse augmente ou diminue, compare les sens de la vitesse et de l'accélération.

Commence tout problème par une description verbale et un tableau simple. Identifie les intervalles, choisis les signes, convertis les unités et calcule seulement ensuite. Un modèle à vitesse constante ne décrit ni le démarrage ni le freinage d'un véhicule. Il peut être une approximation utile sur une portion, mais sa validité doit être reconnue.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

Le graphique position-temps dessine la route.

Le graphique relie deux grandeurs ; une courbe peut correspondre à un mouvement sur une route droite.

Une vitesse négative signifie un corps qui ralentit.

Le signe indique le sens ; ralentir dépend de la relation entre vitesse et accélération.

La vitesse scalaire moyenne est toujours la norme de la vitesse moyenne vectorielle.

Elles ne sont égales que lorsque la distance parcourue égale la norme du déplacement.