Nombres réels et notation scientifique

Reprendre les opérations et le sens de la fraction

Une fraction a/b représente la division de a par b, avec b différent de zéro. Dans 3/4, le dénominateur indique quatre parties égales de l'unité et le numérateur indique trois de ces parties. L'unité choisie compte : trois quarts de mètre et trois quarts de kilomètre ont la même valeur numérique, mais représentent des longueurs différentes. Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul conserve le quotient : 3/4 = 6/8.

Pour additionner des fractions, il faut des parties de même taille. Ainsi, 2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12. Pour multiplier, 2/3 × 1/4 = 2/12 = 1/6 : on prend les deux tiers d'un quart. Diviser par 3/5 revient à multiplier par 5/3, car le produit de ces deux nombres vaut 1. Par exemple, (4/7) ÷ (3/5) = 20/21.

Les signes décrivent des positions ou des sens. L'opposé de −6 est 6 ; soustraire −6 revient à ajouter 6. En revanche, l'inverse de −6 est −1/6, car leur produit vaut 1. Zéro possède un opposé, mais pas d'inverse multiplicatif. Avant d'utiliser une calculatrice, identifie les parenthèses, les puissances, les multiplications et les divisions, puis seulement les additions et les soustractions. Les multiplications et divisions de même priorité se traitent de gauche à droite ; il en va de même pour les additions et soustractions de même priorité, après les opérations prioritaires. Des puissances emboîtées exigent une attention à la structure des exposants : 2^(3²) = 512, tandis que (2³)² = 64. Utilise des parenthèses pour rendre cette structure sans ambiguïté.

Multiples, facteurs et dénominateur commun porteur de sens

Un entier positif d est un diviseur de n lorsque n = dk pour un certain entier k. Un multiple positif de d a la forme d, 2d, 3d, et ainsi de suite. Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Le nombre 1 n'est pas premier. Décomposer un entier positif supérieur à 1 en facteurs premiers organise sa structure multiplicative.

Par exemple, 18 = 2 × 3² et 30 = 2 × 3 × 5. Un multiple commun doit contenir suffisamment de facteurs pour être divisible par les deux. Le plus petit commun multiple, PPCM, utilise chaque nombre premier avec le plus grand exposant nécessaire : PPCM(18,30) = 2 × 3² × 5 = 90. Pourquoi ne pas multiplier directement 18 par 30 ? Ce produit est aussi un multiple commun, mais répète des facteurs qu'il suffisait d'inclure une fois et n'est pas toujours le plus petit.

O plus grand commun diviseur, PGCD, utilise les facteurs présents dans les deux nombres avec leurs plus petits exposants : PGCD(18,30) = 2 × 3 = 6. Il est utile pour simplifier des fractions ou former des groupes égaux sans reste. Ne confonds pas le plus grand diviseur et le plus petit multiple : ils répondent à des questions différentes.

Additionner des fractions exige de compter des parties de même taille. Pour 7/18 + 1/30, le dénominateur 90 permet d'écrire 35/90 + 3/90 = 38/90 = 19/45. On a multiplié le numérateur et le dénominateur par le même nombre, conservant la valeur de chaque fraction. On n'additionne pas directement les dénominateurs : cela changerait la taille des parties sans justification.

Avec trois nombres, le raisonnement est le même. Pour 8 = 2³, 12 = 2² × 3 et 30 = 2 × 3 × 5, le PPCM vaut 2³ × 3 × 5 = 120. Vérifie les divisions : 120/8 = 15, 120/12 = 10 et 120/30 = 4, toutes entières. La méthode des plus grands exposants explique aussi pourquoi ce multiple est le plus petit positif possible.

Quels nombres appartiennent aux réels ?

On appelle entiers les nombres …, −2, −1, 0, 1, 2, … et on note leur ensemble ℤ. Les rationnels, ℚ, sont les nombres qui peuvent s'écrire a/b avec a et b entiers et b ≠ 0. Ainsi, −8 est rationnel car −8 = −8/1. Un décimal fini est aussi rationnel : 0,045 = 45/1000 = 9/200. Un développement décimal périodique, avec un bloc se répétant indéfiniment, est également rationnel.

On peut démontrer cette dernière idée dans un cas concret. Si x = 0,272727…, alors 100x = 27,272727…. En soustrayant les égalités, on obtient 99x = 27, donc x = 27/99 = 3/11. La répétition infinie est exacte ; écrire seulement 0,27 serait déjà une approximation.

Les irrationnels sont les réels qui ne peuvent pas s'écrire comme un quotient d'entiers. √2 et π en sont des exemples. Le symbole ℝ réunit les rationnels et les irrationnels. L'apparence ne décide pas de la classification : √81 = 9 est rationnel, tandis que √80 = 4√5 est irrationnel. L'écriture des naturels varie entre des conventions qui incluent ou excluent zéro ; ici, lorsqu'il faudra compter des objets, nous préciserons explicitement 0, 1, 2, … ou 1, 2, 3, ….

Droite réelle, distance et comparaison

Sur la droite réelle, chaque nombre correspond à un point et l'ordre augmente vers la droite. Ainsi, −7 < −3, bien que 7 > 3 : une dette de sept unités laisse un solde inférieur à une dette de trois. La valeur absolue |x| est la distance de x à zéro et n'est jamais négative ; par exemple, |−7| = 7. La distance entre a et b est |a − b| : entre −3 et 5, il y a donc |5 − (−3)| = 8 unités.

Pour comparer des fractions à dénominateurs positifs, on peut utiliser un dénominateur commun. On a 5/8 = 15/24 et 2/3 = 16/24, donc 5/8 < 2/3. En présence de dénominateurs négatifs, commence par placer le signe au numérateur. Pour comparer des racines positives ou nulles, compare leurs carrés : comme 3² < 13 < 4², on en déduit 3 < √13 < 4.

Une approximation peut aider à placer un point, mais ne remplace pas une preuve lorsque l'écart est faible. Savoir que √13 ≈ 3,606 permet une esquisse ; savoir que 3,60² = 12,96 et 3,61² = 13,0321 justifie l'intervalle 3,60 < √13 < 3,61. Le symbole ≈ signale un arrondi.

Pourquoi les règles des puissances fonctionnent

Pour un exposant entier positif, aⁿ signifie un produit de n facteurs égaux à a. Réunir deux produits de même base donne a^maⁿ = a^m+n. Élever un produit répété à une autre puissance donne (a^m)ⁿ = a^mn. En revanche, additionner des puissances ne permet pas d'additionner les exposants : 2² + 2³ = 4 + 8 = 12, et non 2⁵.

Pour a ≠ 0, on veut conserver la règle du quotient. Comme a³/a³ = 1, on définit a⁰ = 1. Comme a²/a⁵ = 1/a³, on définit a⁻³ = 1/a³. L'exposant négatif indique un inverse, pas un résultat négatif : 10⁻⁴ = 0,0001. L'expression 0⁰ ne reçoit pas de valeur ici et zéro élevé à un exposant négatif n'existe pas.

Les parenthèses changent la base : (−4)² = 16, tandis que −4² = −16, car dans cette dernière écriture la puissance s'applique d'abord à 4. Pour les racines carrées réelles, on exige un radicand positif ou nul et on choisit la racine principale, elle aussi positive ou nulle. Ainsi, √(x²) = |x|, pas toujours x : pour x = −5, la racine vaut 5.

Notation scientifique et échelle décimale

Un nombre positif est en notation scientifique lorsqu'il s'écrit c × 10ⁿ, avec 1 ≤ c < 10 et n entier. Pour un nombre négatif, la valeur absolue du coefficient reste dans cet intervalle. Le coefficient montre les chiffres significatifs et la puissance indique l'échelle. Ainsi, 5 700 000 = 5,7 × 10⁶ et 0,000082 = 8,2 × 10⁻⁵. Zéro s'écrit simplement 0.

Déplacer la virgule n'est pas une opération sans compensation. Dans 57 × 10⁵, réduire 57 à 5,7 divise le coefficient par dix ; augmenter l'exposant à 6 multiplie la puissance par dix, conservant le produit. Dans les multiplications, on multiplie les coefficients et on additionne les exposants ; dans les divisions, on divise les coefficients et on soustrait les exposants. On normalise ensuite l'écriture.

Dans les sommes, il faut d'abord la même puissance de dix : 3,2 × 10⁵ + 7 × 10⁴ = 3,2 × 10⁵ + 0,7 × 10⁵ = 3,9 × 10⁵. La notation E de la calculatrice signifie « fois dix puissance » : 8,2E−5 représente 8,2 × 10⁻⁵. Il ne s'agit pas de soustraire cinq au coefficient.

Unités, arrondi et contrôle du résultat

Une mesure associe un nombre et une unité. L'égalité 2,4 × 10³ m = 2,4 km conserve la longueur, même si le nombre change. Pour convertir des aires, le facteur est lui aussi élevé au carré : 1 cm² = (10⁻² m)² = 10⁻⁴ m². Pour les volumes, 1 cm³ = 10⁻⁶ m³. Écrire seulement « multiplier par cent » sans identifier la grandeur peut produire des erreurs d'un facteur mille ou davantage.

Arrondir au centième signifie choisir le multiple de 0,01 le plus proche. Par exemple, 6,284 devient 6,28. L'erreur absolue de cette approximation est 0,004. L'erreur relative compare cette erreur à la valeur de référence ; multipliée par cent, elle donne un pourcentage. Garde des chiffres intermédiaires et arrondis à la fin pour réduire l'accumulation des erreurs.

Avant d'accepter un calcul, pose-toi trois questions : le signe a-t-il un sens, l'échelle est-elle plausible et l'unité est-elle celle demandée ? Si l'on divise une distance par un temps, l'unité finale est une longueur par temps. Si un objet de quelques centimètres apparaît comme mesurant des milliers de mètres, vérifie les exposants et la conversion. La précision affichée doit aussi respecter celle des données mesurées.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

Tout développement décimal infini est irrationnel.

Les développements périodiques, comme 0,333…, sont rationnels ; les irrationnels possèdent un développement infini non périodique.

Un exposant négatif rend le nombre négatif.

Pour une base positive, il donne un inverse positif : 10⁻³ = 1/1000.

Convertir des cm² en m² utilise le même facteur que convertir des cm en m.

Le facteur de longueur est élevé au carré lorsqu'on convertit des aires.

√(x²) est toujours x.

C'est |x|, car la racine carrée principale est positive ou nulle.