Expressions, équations et systèmes

Bases : lettres, opérations et égalité

Une lettre peut représenter une valeur encore inconnue ou une valeur variable. Dans l'expression 4x + 3, l'écriture 4x signifie 4 × x. Si x = −2, la valeur de l'expression est 4(−2) + 3 = −5. Une expression seule n'est ni vraie ni fausse. En revanche, 4x + 3 = 15 est une équation : elle demande pour quelles valeurs de x les deux membres sont égaux.

Des termes semblables ont la même partie littérale. Ainsi, 5x + 2x = 7x, mais 5x + 2x² ne se réduit pas à 7x³. La distributivité permet 3(x − 4) = 3x − 12. Un signe moins devant des parenthèses revient à multiplier chaque terme par −1 : −(2x − 7) = −2x + 7. Cette petite révision évite de nombreuses erreurs par la suite.

Une identité est vraie pour toutes les valeurs autorisées : 2(x + 3) = 2x + 6. Une équation conditionnelle n'est vraie que sur une partie du domaine : 2x + 6 = 10 exige x = 2. En simplifiant une égalité, on peut trouver une vérité comme 0 = 0, qui indique toutes les valeurs du domaine, ou une contradiction comme 0 = 5, qui indique l'absence de solutions.

De la somme au produit : factorisation

Factoriser consiste à écrire une expression comme un produit. C'est la distributivité lue à l'envers : 6x² − 9x = 3x(2x − 3). Le facteur commun comprend le plus grand facteur numérique commode et la plus petite puissance de chaque lettre présente dans tous les termes. Pour vérifier, multiplie à nouveau : 3x × 2x = 6x² et 3x × (−3) = −9x.

Les identités remarquables fonctionnent aussi dans les deux sens. On a (a + b)² = a² + 2ab + b² et (a − b)(a + b) = a² − b². Le terme du milieu du carré vient des deux produits ab et ba ; il ne peut pas disparaître. Pour x² − 7x + 12, on cherche deux nombres dont la somme est −7 et le produit 12 : ce sont −3 et −4, donc l'expression est (x − 3)(x − 4).

Lorsqu'un produit est nul, au moins un de ses facteurs est nul. Ainsi, (x − 3)(x − 4) = 0 a pour solutions 3 et 4. Cette règle dépend du fait que le produit soit égal à zéro. De (x − 3)(x − 4) = 6, on ne peut pas conclure qu'un facteur vaut 6 ; il faut réorganiser l'équation.

Résoudre en conservant la condition initiale

Ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres préserve l'égalité. Les multiplier ou les diviser par un même nombre non nul aussi. L'expression informelle « passer de l'autre côté » masque ces opérations : dans 7x − 5 = 23, on ajoute 5 aux deux membres, obtenant 7x = 28, puis on les divise par 7 pour arriver à x = 4.

En présence de dénominateurs, on note d'abord les valeurs interdites. Dans (x + 2)/(x − 1) = 4, il faut x ≠ 1. Multiplier par x − 1 sur ce domaine donne x + 2 = 4x − 4 ; ainsi, x = 2, ce qui est autorisé. Simplifier un facteur ne permet pas de rétablir un point où l'expression initiale n'existait pas.

Il ne faut pas non plus diviser par une expression qui peut être nulle sans étudier ce cas. Dans x(x − 5) = 0, diviser par x ferait perdre la solution x = 0. La factorisation conserve les deux possibilités : x = 0 ou x = 5. À la fin, remplacer dans l'équation initiale vérifie chaque candidat et aide à détecter les erreurs de signe ou de domaine.

Inéquations : pourquoi le sens s'inverse

Une inéquation compare des valeurs avec <, >, ≤ ou ≥. Ajouter le même nombre des deux côtés conserve l'ordre : si a < b, alors a + c < b + c. Multiplier par un nombre positif conserve aussi l'ordre. Multiplier par un nombre négatif l'inverse. Pour comprendre pourquoi, pars de 2 < 5 : les opposés sont −2 et −5, et −2 > −5, car la droite a été réfléchie par rapport à zéro.

En général, si a < b, la différence b − a est positive. Pour c < 0, le produit c(b − a) est négatif, c'est-à-dire cb − ca < 0 ; donc cb < ca. L'inversion possède une raison mathématique et n'est pas un rituel réservé à une fiche d'exercices.

Par exemple, −3x + 2 ≤ 11 implique −3x ≤ 9 et, en divisant par −3, x ≥ −3. Le point −3 est inclus car l'inégalité autorise l'égalité. La solution est un ensemble de nombres, pas un seul nombre : [−3, +∞[. Si tu multiplies une inéquation par une expression de signe inconnu, il faut distinguer des cas ; le signe ne se devine pas.

Racines carrées et candidats étrangers

Une équation du second degré a la forme ax² + bx + c = 0, avec a ≠ 0. On peut en résoudre certaines par factorisation et d'autres en isolant un carré. Si (x − 2)² = 25, alors x − 2 = 5 ou x − 2 = −5, donc x = 7 ou x = −3. La racine principale √25 vaut 5 ; ce sont les deux signes de l'inconnue qui donnent les deux solutions.

Élever les deux membres au carré exige de la prudence. De a = b découle a² = b², mais a² = b² autorise aussi a = −b. La transformation peut donc produire des candidats étrangers. Dans √(x + 6) = x, le domaine et la non-négativité du premier membre exigent x ≥ 0. En élevant au carré, on obtient x + 6 = x², soit (x − 3)(x + 2) = 0.

Les candidats sont 3 et −2, mais seul 3 satisfait l'équation initiale : √9 = 3. Pour −2, √4 = 2, différent de −2. Le calcul n'a pas « fabriqué » une solution valable ; il a produit une condition plus permissive qui nécessitait une vérification. Cette distinction réapparaît avec les logarithmes et d'autres opérations non réversibles.

Deux conditions sur les mêmes inconnues

Un système exige que toutes les équations soient vérifiées simultanément. Le couple (x, y) est ordonné : échanger les coordonnées peut modifier la réponse. Par substitution, on isole une lettre dans une équation puis on remplace l'expression obtenue dans l'autre. Par élimination, on additionne les équations après des multiplications adaptées pour annuler une des lettres. Les deux techniques cherchent le même ensemble de couples.

Si x + y = 9 et 2x − y = 6, additionner les égalités donne 3x = 15. On trouve x = 5 puis, dans la première, y = 4. L'élimination fonctionne car y et −y ont une somme nulle. La vérification doit utiliser les deux équations : un couple satisfaisant une seule condition ne résout pas le système.

Dans le plan, chaque équation linéaire dont les deux coefficients ne sont pas simultanément nuls représente une droite. Des droites sécantes donnent une solution ; des parallèles distinctes n'en donnent aucune ; des droites confondues en donnent une infinité. Pour modéliser, définis les lettres et les unités avant les équations. Si elles représentent des nombres d'objets, des solutions négatives ou non entières peuvent être incompatibles avec le contexte, même si elles satisfont les calculs.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

Changer un terme de côté est une règle sans justification.

Le changement résume l'ajout ou la soustraction du même terme aux deux membres.

Diviser une inéquation par −2 conserve le sens.

Le sens s'inverse car multiplier par un nombre négatif inverse l'ordre sur la droite.

Tous les résultats obtenus après élévation au carré sont des solutions.

Ce sont des candidats ; il faut les vérifier dans l'équation initiale et respecter le domaine.

Un système est résolu dès que l'on trouve x.

Il faut trouver le couple complet et vérifier toutes les équations.