Движение и чтение графиков

Что ты поймёшь

Выбирать систему отсчёта и вычислять знаковые перемещения.
Различать среднюю путевую и среднюю векторную скорости и мгновенные значения.
Понимать наклоны координатных графиков и площади скоростных.
Распознавать ускорение как изменение скорости.

Перед началом

Не нужно помнить всё наизусть. Объяснение возвращается к нужным идеям и показывает их связи. Если какая-то основа ещё неясна, можно вернуться к этим урокам:

Величины, единицы и измерения

Координата зависит от отсчёта

Сидящий пассажир покоится относительно автобуса и движется относительно дороги. Противоречия нет: движение — изменение положения во времени относительно системы отсчёта. Описывая тело, укажи считаемое неподвижным, начало координат, направление оси и положительную сторону.

Для прямой дороги достаточно оси. Можно выбрать школу x = 0 и направление к рынку положительным. x = −30 m — тридцать метров в противоположную от рынка сторону; знак не означает отрицательного размера. Положение — координата, отрицательная, нулевая или положительная.

Тело можно представить материальной точкой, если размер и вращение не важны для вопроса. Для поездки автобуса между городами приближение подходит; для прохода узкой двери размеры важны. Модель — объяснённый выбор, не полная фотография предмета.

Перемещение и пройденный путь

Перемещение в одном измерении Δx = x_f − x_i, в метрах. Греческая Δ означает изменение, всегда конечное минус начальное. От x = 10 m к x = −5 m получаем Δx = −15 m. Знак показывает направление общего изменения между координатами.

Пройденный путь складывает длины всех участков. Отрицательного знака нет. 40 m в одну сторону и 15 m обратно дают путь 55 m, но перемещение лишь 25 m в начальном направлении. Возврат в старт даёт нулевое перемещение даже при усилиях и значительном пути.

Одних начальной и конечной точек недостаточно для полного пути. Нужны сведения о маршруте. В прямом движении без поворота путь равен модулю перемещения. При смене направления равенство нарушается. Это важно для площадей со знаком.

Длительность и средние значения

Длительность Δt = t_f − t_i , измеряется в секундах. Момент — когда событие; длительность — сколько времени между событиями. Секундомер с первого события делает t_i = 0, но такой выбор необязателен.

Средняя скорость v_m = Δx/Δt в m/s. На прямой знак отражает направление перемещения. Средняя путевая — полный путь/Δt, тоже m/s, но без направления и минуса. Одна поездка может иметь нулевую среднюю векторную и положительную путевую скорость. Не скрывай словом «скорость», какую величину вычислил.

Среднее описывает весь интервал, не каждый момент. Маршрут с остановками и разгонами может иметь одно среднее с равномерным движением. При разном времени участков недостаточно среднего арифметического их скоростей; сначала суммируй пути и длительности, включая остановки интервала.

У графика координаты от времени свой язык

На графике x от t горизонтальная ось — время в секундах, вертикальная — координата в метрах. Каждая точка — положение тела в момент. Соединение точек отрезками — допущение о промежутках измерений; отдельные точки не гарантируют равномерное промежуточное движение.

Наклон прямой — вертикальное изменение на горизонтальное: Δx/Δt. Поэтому секущая координатного графика даёт среднюю скорость между моментами. Возрастающая прямая — положительная скорость; убывающая — отрицательная; горизонтальная — покой в системе отсчёта.

Более крутая линия означает больший модуль скорости при одном масштабе осей. Высота графика — не модуль скорости: далёкое от начала тело может покоиться. На кривом графике наклон меняется; местная касательная — мгновенная скорость. Пока не нужен дифференциальный анализ для этого понимания.

Схема: наклон от положительного к нулевому, затем отрицательному. Отрезки не форма дороги.

График скорости от времени

Теперь вертикальная ось — скорость, не координата. Горизонталь выше нуля — равномерное движение в положительную сторону. Ниже — равномерное в отрицательную. Это не покой: для покоя v = 0. Одна форма имеет разный смысл по величинам осей.

Для постоянной скорости Δx = vΔt. На скоростном графике произведение — площадь прямоугольника между линией и осью времени. При переменных участках складывают прямоугольники и треугольники. Ниже оси площади отрицательны для перемещения; для пути складывают модули, разделяя смены направления.

Единица площади (m/s) × s = m подтверждает смысл. Скоростной график даёт перемещения, но для координат нужна начальная. У двух людей одинаковые графики скорости могут сочетаться с постоянным разделяющим расстоянием.

Изменение скорости и выбор модели

Среднее ускорение a_m = Δv/Δt в m/s². При постоянном ускорении 2 m/s² скорость увеличивается на 2 m/s за секунду. Наклон скоростного графика даёт среднее ускорение. Это не площадь, дающая перемещение.

На прямой положительное ускорение не обязательно увеличивает модуль скорости. При v = −6 m/s и a = +2 m/s² скорость приближается к нулю, модуль уменьшается до остановки. Для роста или уменьшения модуля сравни направления скорости и ускорения.

Начни задачу со словесного описания и простой таблицы. Определи интервалы, знаки, переведи единицы, затем вычисляй. Модель постоянной скорости не описывает старт и торможение транспорта. Полезна для участка, но её границы нужно признать.

Решённые примеры без пропуска шагов

Сначала проследи рассуждение. Затем закрой решение и попробуй восстановить его своими словами.

Пример 1

Туда и немного обратно

Человек начинает из x = 0, идёт до x = 60 m и возвращается к x = 20 m. Весь путь за 50 s. Вычисли путь, перемещение и два средних.

Первый участок 60 m; обратный 60 − 20 = 40 m. Полный путь 100 m.
Перемещение только по концам: Δx = 20 − 0 = +20 m.
Средняя скорость 20/50 = +0,40 m/s. Средняя путевая 100/50 = 2,0 m/s.

Результат

Путь 100 m; перемещение +20 m; средняя v +0,40 m/s; средняя путевая 2,0 m/s.

Проверить результат

Средняя путевая больше модуля средней скорости из-за возврата. Обе единицы m/s.

Пример 2

Прямая с начальной координатой

Тело имеет x = 8 m при t = 2 s и x = 26 m при t = 8 s. Между точками прямая. Где оно при t = 5 s?

Длительность данных 6 s, перемещение 18 m. Наклон v = +3 m/s.
От t = 2 s до t = 5 s проходит 3 s. Промежуточное перемещение 3 × 3 = 9 m.
Прибавь к опорной координате: x = 8 + 9 = 17 m.

Результат

x(5 s) = 17 m.

Проверить результат

Пять секунд — середина времени, 17 m — середина между 8 m и 26 m, как требует прямая.

Пример 3

Площадь и наклон дают разные результаты

Скорость равномерно растёт с 0 до 6 m/s за 4 s, затем остаётся 6 m/s ещё 3 s. Вычисли полное перемещение.

На разгоне площадь треугольная: Δx₁ = 4 × 6/2 = 12 m.
На равномерном участке прямоугольная: Δx₂ = 3 × 6 = 18 m.
Сложи площади: Δx = 30 m. Начальное ускорение по наклону 6/4 = 1,5 m/s².

Результат

Δx = +30 m; начальное a = +1,5 m/s².

Проверить результат

Скорость не отрицательна, путь тоже 30 m. Не смешивай 30 m площади с 1,5 m/s² наклона.

Теперь попробуй сам

Секундомера нет. Запиши известное, выбери соотношение и обоснуй каждый шаг. Подсказки и решения доступны, когда понадобятся.