Производные и скорость изменения

Повторить наклоны, приращения и единицы

Для двух точек графика наклон — вертикальное изменение, делённое на горизонтальное. При переходе аргумента от a к a+h его приращение h, а значения — f(a+h)−f(a). Используй скобки: вычесть f(a) — вычесть всё выражение. Средняя скорость [f(a+h)−f(a)]/h определена только при h≠0 и обоих аргументах в области.

Если аргумент — время в секундах, значение — положение в метрах, единица скорости m/s. Если аргумент — число изделий, значение — стоимость в денежных единицах, скорость — стоимость на изделие. Производная не просто число графика: она выражает чувствительность одной величины к другой. Смена горизонтальной единицы меняет численное значение скорости.

От секущей к касательной

Секущая проходит через две разные точки кривой. Зафиксируй одну в a и приближай другую, устремляя h к нулю. Если наклоны с допустимых сторон сходятся к одному конечному числу, это f′(a), производная в a. Обычное определение во внутренней точке требует двустороннего предела.

Не подставляем h=0 в отношение: это обычно дало бы 0/0. Упрощаем при h≠0 и лишь затем берём предел. Касательная — прямая y=f(a)+f′(a)(x−a), сохраняющая точку и локальный наклон. Она может пересекать кривую или снова встретить её в другом месте. Касание ровно один раз, полезное для некоторых окружностей, не является общим определением касательной.

Вывести правило до применения

Для f(x)=x² вычисли f(a+h)=(a+h)²=a²+2ah+h². Вычитание a² и деление на h при h≠0 дают 2a+h. Предел равен 2a. Поскольку a — любое действительное, функция производной f′(x)=2x. У константы числитель нулевой и производная нулевая. Для f(x)=mx+b числитель mh и производная m.

Правило степени обобщает результат: производная xⁿ равна nxⁿ⁻¹ там, где функция и действительное дифференцирование осмысленны. Для положительных целых показателей раскрытие (x+h)ⁿ после деления на h оставляет nxⁿ⁻¹ и члены с множителями h, исчезающими в пределе. Правило работает и для многих нецелых показателей, но область нужно изучить: √x имеет производную 1/(2√x) только при x>0.

Объединение скоростей: сумма, произведение и композиция

Производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель сохраняется. В произведении uv изменение включает изменение u при почти фиксированном v и изменение v при почти фиксированном u. Это даёт (uv)′=u′v+uv′, а не u′v′. Для частного (u/v)′=(u′v−uv′)/v², где v≠0 и функции дифференцируемы.

Композиция описывает преобразование внутри другого. Если y=g(u) и u=f(x), малое изменение x даёт изменение u приблизительно в f′(x) раз большее; затем g′(u) умножает его. Поэтому [g(f(x))]′=g′(f(x))f′(x). Для (3x+1)² внешний множитель 2(3x+1), внутренний 3. Результат 6(3x+1) можно проверить раскрытием многочлена. Два пути дают полезную проверку.

Когда производная не существует

Функция |x| непрерывна в нуле, но односторонние наклоны −1 и 1. Единственной производной там нет. Непрерывность не гарантирует дифференцируемость. Обратное верно: существование конечной производной в a влечёт непрерывность f в a. Действительно, изменение f(a+h)−f(a) равно разностному отношению, умноженному на h; первый множитель стремится к конечному числу, второй — к нулю.

Разрыв исключает дифференцируемость в точке. Вертикальная касательная также не соответствует конечной действительной производной, хотя можно изучать неограниченный наклон. На границе области возможна односторонняя производная; её следует так обозначать. При дифференцировании 1/x формула −1/x² не разрешает x=0: исходная функция там даже не существует. Области производной и функции могут различаться.

Понимание скоростей в контексте и данных

Если s(t) — положение, s′(t) — скорость со знаком, зависящим от оси; модуль скорости |s′(t)|. Ускорение — производная скорости, а не сама скорость. Отрицательная производная означает уменьшение значения, а не обязательно отрицательное значение. Резервуар может содержать много жидкости, пока объём уменьшается.

Для измеренных данных мгновенную скорость оценивают по скоростям на малых промежутках. Чрезмерное уменьшение промежутка может усилить ошибки измерения: деление малой зашумлённой разности на крошечный промежуток делает оценку неустойчивой. Для гладкой функции полезна центральная разность [f(a+h)−f(a−h)]/(2h), но это всё ещё приближение. Нулевая производная в момент не означает постоянства функции: t² имеет нулевую производную в нуле и меняется в любой окрестности. Постоянство следует из поведения на промежутке.

Решённые примеры без пропуска шагов

Сначала проследи рассуждение. Затем закрой решение и попробуй восстановить его своими словами.

Теперь попробуй сам

Секундомера нет. Запиши известное, выбери соотношение и обоснуй каждый шаг. Подсказки и решения доступны, когда понадобятся.

Ошибки, которых стоит избегать

Производная произведения — произведение производных.

Каждый множитель вносит вклад в изменение; используй u′v+uv′.

Нулевая производная означает максимум или минимум.

Это лишь кандидат; x³ имеет нулевую производную в 0 и продолжает возрастать.

Непрерывная функция всегда имеет производную.

Угол, как у |x| в нуле, исключает единственный наклон.