Аналитическая геометрия на плоскости

Повторить координаты и выбрать масштаб

В ортонормированной декартовой системе оси перпендикулярны и используют одну единицу длины. Ортонормированность важна: обычные метрические формулы предполагают такую геометрию. Разные видимые масштабы осей могут верно показывать координаты, но искажать видимые длины и углы.

Точка A = (−2, 4) имеет абсциссу −2 и ординату 4. Перемещение к B = (3, 1) имеет составляющие 3 − (−2) = 5 горизонтально и 1 − 4 = −3 вертикально. Составляющие отрицательны по направлению; расстояние — длина, отрицательной быть не может.

В задачах положения выбирай начало, оси и единицу до чисел. Карта может использовать километры, план метры. Выбор системы меняет координаты, но не расстояние при сохраняющем длины преобразовании. Хороший выбор упрощает расчёты без изменения задачи.

Вывести расстояние и середину отрезка

Если A = (x₁, y₁) и B = (x₂, y₂), горизонтальная и вертикальная проекции образуют прямоугольный треугольник с катетами |x₂ − x₁| и |y₂ − y₁|. По Пифагору расстояние:

Квадраты делают перестановку A и B несущественной: d(A, B) = d(B, A). Нулевое расстояние требует нулевых обеих разностей, точки совпадают. Вычитание в одном порядке для составляющих предотвращает путаницу, хотя квадрат убирает знак результата.

Середина M делит отрезок пополам и имеет M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Каждая координата — среднее соответствующих. Для A = (−2, 4), B = (3, 1) имеем M = (0,5; 2,5), с точкой с запятой между десятичными координатами. Разность от A до M — половина от A до B, что обосновывает формулу и равные расстояния.

Уравнения прямых: несколько форм

Невертикальная прямая через A = (x₀, y₀) с угловым коэффициентом m удовлетворяет y − y₀ = m(x − x₀). Все перемещения вдоль неё имеют одно отношение вертикального изменения к горизонтальному. Для двух разных абсцисс m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Знаменатель объясняет отсутствие наклона у вертикальной прямой.

Раскрытие формы даёт y = mx + p. Для принадлежности точки подставь обе координаты. Одна точка не задаёт прямую из-за бесконечных направлений; две различные задают. Если абсциссы одинаковы, уравнение x = x₀.

Общая форма Ax + By + C = 0 с не одновременно нулевыми A и B включает вертикальные. При B ≠ 0 выделение y даёт наклон −A/B. При B = 0 имеем x = −C/A. Умножение всего уравнения на ненулевую константу не меняет прямую: 2x + y − 3 = 0 и 4x + 2y − 6 = 0 — одно множество.

Параллельные, перпендикулярные и пересечения

Невертикальные прямые параллельны при одном наклоне; если совпадают и ординаты начала, это одна прямая. Разные вертикальные параллельны. Непараллельные пересекаются в одной точке, одновременно удовлетворяющей уравнениям. Её нахождение — решение линейной системы.

Для невертикальных перпендикулярных m₁m₂ = −1. Знак виден из поворота направления (1, m) на 90° в (−m, 1) с наклоном −1/m при m ≠ 0. Горизонталь и вертикаль тоже перпендикулярны, но не используют произведение двух определённых наклонов.

Не заключай перпендикулярность по рисунку: разные масштабы искажают прямой угол. Прямая наклона 2 перпендикулярна −1/2, а не −2. Важны обратность и минус. Для перпендикуляра через точку сначала найди новый наклон, затем форму точки и наклона.

Окружность как геометрическое место

Геометрическое место — точки, удовлетворяющие условию. Окружность центра C = (h, k) и радиуса r > 0 объединяет P с расстоянием r до C. Формула расстояния и возведение в квадрат дают:

Равенство описывает границу. ≤ r² — замкнутый круг с внутренностью и границей; < r² — только внутренность. В (x + 2)² + (y − 3)² = 25 центр (−2, 3), радиус 5. Справа квадрат радиуса, не радиус.

Центр развёрнутого уравнения восстанавливают полными квадратами. В x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 имеем (x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 − 12 = 0, значит (x − 3)² + (y + 2)² = 25. Центр (3, −2), радиус 5. Отрицательная правая часть не дала бы действительных точек; нулевая дала бы только центр, вырожденный случай.

Эллипс: условие расстояния, дающее уравнение

Один эллипс — точки, сумма расстояний которых до двух фиксированных фокусов постоянна. Начни с F₁ = (−c,0), F₂ = (c,0), c ≥ 0, суммой 2a при a > c. Центр — начало. Большая ось 2a; b² = a² − c² при b > 0. Здесь c — расстояние центра до фокуса, не свободный член прямой.

Выведем уравнение. Для P = (x,y) назовём r₁ и r₂ расстояния фокусов. r₁ + r₂ = 2a. По расстоянию r₁² − r₂² = (x + c)² − (x − c)² = 4cx. Разложив разность квадратов, (r₁ − r₂)(r₁ + r₂) = 4cx, значит r₁ − r₂ = 2cx/a. Сложив связи и разделив на 2, r₁ = a + cx/a.

Теперь r₁² = (x + c)² + y² даёт a² + 2cx + c²x²/a² = x² + 2cx + c² + y². Сокращаем 2cx, преобразуем: a² − c² = x²(1 − c²/a²) + y². При b² = a² − c² делим на b² и получаем x²/a² + y²/b² = 1. Длины и a > c гарантируют положительное b².

Вершины большой оси (±a,0), концы малой (0,±b). При вертикальной большой оси член с a² относится к y². Например, x²/9 + y²/25 = 1 имеет большую полуось 5 вертикально, малую 3, фокусы (0,±4). Больший знаменатель не обязательно под x.

Для центра (x₀,y₀) заменяем x на x − x₀, y на y − y₀. Эллипс (x − 2)²/25 + (y + 1)²/9 = 1 имеет центр (2,−1), полуоси 5 и 3, c = √(25 − 9) = 4. Фокусы (−2,−1) и (6,−1). Для точки подставляй координаты и проверяй равенство, не только вид фигуры.

Окружность — случай a = b с обоими фокусами в центре. Эллипс с разными масштабами осей может казаться более или менее вытянутым. Геометрические значения получай из уравнения и масштаба, не визуального впечатления.

Множества точек и решение задач

Прямая и окружность могут не иметь общих точек, касаться одной или пересекаться в двух. Подстановка прямой в окружность даёт квадратное уравнение; число действительных решений отражает три возможности. Найдя координату, вычисли другую и проверь пары в обоих уравнениях.

Другое место — точки, равноудалённые от A и B при A ≠ B. Квадрат условия d(P, A) = d(P, B) сокращает x² и y² и даёт прямую: серединный перпендикуляр AB. Она проходит через середину перпендикулярно отрезку. Алгебра и геометрия подтверждают одно описание.

Решая ситуацию, выбери искомое: точка, расстояние, прямая или область. Уравнение может задавать бесконечно много точек, система выбирать некоторые. Ответ учитывает различие: одна абсцисса не определяет точку, один рисунок не проверяет численное условие. Конечные единицы зависят от вопроса.

Решённые примеры без пропуска шагов

Сначала проследи рассуждение. Затем закрой решение и попробуй восстановить его своими словами.

Теперь попробуй сам

Секундомера нет. Запиши известное, выбери соотношение и обоснуй каждый шаг. Подсказки и решения доступны, когда понадобятся.

Ошибки, которых стоит избегать

Вычитание координат даёт отрицательное расстояние.

Знаковые разности отрицательны; расстояние использует квадраты и неотрицательный корень.

У перпендикулярных прямых противоположные наклоны.

Для определённых ненулевых наклонов они обратные с противоположным знаком, не просто противоположные.

Справа в уравнении окружности радиус.

Это r²; для r нужен положительный корень.

Окружность и круг — одно множество.

Окружность — граница, круг включает внутренность.