Выражения, уравнения и системы

Основы: буквы, действия и равенство

Буква может означать неизвестное или переменное значение. В 4x + 3 запись 4x означает 4 × x. При x = −2 значение 4(−2) + 3 = −5. Само выражение не истинно и не ложно. А 4x + 3 = 15 — уравнение: оно спрашивает, при каких x обе части равны.

Подобные члены имеют одинаковую буквенную часть. Поэтому 5x + 2x = 7x, но 5x + 2x² не сокращается до 7x³. Распределительный закон даёт 3(x − 4) = 3x − 12. Минус перед скобками — умножение каждого члена на −1: −(2x − 7) = −2x + 7. Это короткое повторение предотвращает множество будущих ошибок.

Тождество верно для всех допустимых значений: 2(x + 3) = 2x + 6. Условное уравнение верно лишь на части области: 2x + 6 = 10 требует x = 2. Упрощение равенства может дать истину 0 = 0 — все значения области, или противоречие 0 = 5 — отсутствие решений.

От суммы к произведению: разложение

Разложить на множители — записать произведением. Это обратное чтение распределительности: 6x² − 9x = 3x(2x − 3). Общий множитель включает удобный наибольший числовой множитель и наименьшую степень каждой буквы, присутствующей во всех членах. Для проверки перемножь: 3x × 2x = 6x² и 3x × (−3) = −9x.

Формулы сокращённого умножения работают в обе стороны. Имеем (a + b)² = a² + 2ab + b² и (a − b)(a + b) = a² − b². Средний член квадрата происходит от ab и ba; он не может исчезнуть. Для x² − 7x + 12 ищем два числа с суммой −7 и произведением 12: −3 и −4, значит выражение (x − 3)(x − 4).

Если произведение нулевое, хотя бы один множитель нулевой. Поэтому (x − 3)(x − 4) = 0 имеет решения 3 и 4. Правило требует равенства произведения нулю. Из (x − 3)(x − 4) = 6 нельзя заключить, что один множитель 6; уравнение нужно перестроить.

Решение с сохранением исходного условия

Прибавление или вычитание одинакового числа в обеих частях сохраняет равенство. Умножение или деление обеих на ненулевое тоже. Неформальный «перенос на другую сторону» скрывает действия: в 7x − 5 = 23 прибавляем 5 к обеим, получая 7x = 28, затем делим на 7 и получаем x = 4.

При знаменателях сначала запиши запрещённые значения. Для (x + 2)/(x − 1) = 4 нужно x ≠ 1. Умножение на x − 1 внутри области даёт x + 2 = 4x − 4; значит x = 2, что допустимо. Сокращение множителя не восстанавливает точку отсутствия исходного выражения.

Нельзя делить на потенциально нулевое выражение без исследования случая. В x(x − 5) = 0 деление на x потеряет x = 0. Разложение сохраняет обе возможности: x = 0 или x = 5. В конце подстановка в исходное уравнение проверяет каждого кандидата и выявляет ошибки знака или области.

Неравенства: почему меняется знак

Неравенство сравнивает посредством <, >, ≤ или ≥. Прибавление одного числа сохраняет порядок: из a < b следует a + c < b + c. Умножение на положительное тоже сохраняет; на отрицательное обращает. Для понимания возьми 2 < 5: противоположные −2 и −5 дают −2 > −5, поскольку прямая отражена относительно нуля.

В общем случае при a < b разность b − a положительна. При c < 0 произведение c(b − a) отрицательно, то есть cb − ca < 0; поэтому cb < ca. Обращение имеет математическую причину, а не является ритуалом листка упражнений.

Например, −3x + 2 ≤ 11 влечёт −3x ≤ 9 и после деления на −3, x ≥ −3. Точка −3 включена из-за допустимости равенства. Решение — множество, а не одно число: [−3, +∞[. При умножении неравенства на выражение неизвестного знака нужно разделить случаи; знак нельзя угадать.

Квадратные корни и посторонние кандидаты

Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0 при a ≠ 0. Некоторые решаются разложением, другие выделением квадрата. Если (x − 2)² = 25, то x − 2 = 5 или x − 2 = −5, откуда x = 7 или x = −3. Главный корень √25 равен 5; два знака неизвестной дают два решения.

Возведение обеих частей в квадрат требует осторожности. Из a = b следует a² = b², но a² = b² допускает и a = −b. Поэтому преобразование может дать посторонние кандидаты. В √(x + 6) = x область и неотрицательность слева требуют x ≥ 0. Квадрат даёт x + 6 = x² или (x − 3)(x + 2) = 0.

Кандидаты 3 и −2, но лишь 3 подходит исходному: √9 = 3. Для −2, √4 = 2, а не −2. Вычисление не «создало» допустимое решение, а дало более широкое условие, требующее проверки. Это различие повторится с логарифмами и другими необратимыми действиями.

Два условия на одни неизвестные

Система требует одновременного выполнения всех уравнений. Пара (x, y) упорядочена: перестановка координат может менять ответ. В подстановке выделяем букву в одном уравнении и подставляем выражение в другое. В исключении складываем уравнения после удобных умножений для устранения буквы. Оба метода ищут одно множество пар.

Если x + y = 9 и 2x − y = 6, сложение даёт 3x = 15. Находим x = 5 и из первого y = 4. Исключение работает из-за суммы y и −y, равной нулю. Проверка нужна по обоим: пара, удовлетворяющая одному условию, не решает систему.

На плоскости каждое линейное уравнение с двумя не одновременно нулевыми коэффициентами представляет прямую. Пересекающиеся дают одно решение; разные параллельные — ни одного; совпадающие — бесконечно много. При моделировании задай буквы и единицы до уравнений. Для количеств предметов отрицательные или нецелые решения могут быть несовместимы с контекстом, хотя удовлетворяют вычислениям.

Решённые примеры без пропуска шагов

Сначала проследи рассуждение. Затем закрой решение и попробуй восстановить его своими словами.

Теперь попробуй сам

Секундомера нет. Запиши известное, выбери соотношение и обоснуй каждый шаг. Подсказки и решения доступны, когда понадобятся.

Ошибки, которых стоит избегать

Перенос члена — правило без обоснования.

Он сокращённо обозначает прибавление или вычитание того же члена в обеих частях.

Деление неравенства на −2 сохраняет знак.

Знак обращается, поскольку умножение на отрицательное меняет порядок на прямой.

Все результаты после возведения в квадрат — решения.

Это кандидаты; нужна проверка в исходном уравнении и соблюдение области.

Система решена после нахождения x.

Нужно найти полную пару и проверить все уравнения.