Графики и квадратичные функции

Основы: точки, оси и чтение значений

Декартова система имеет две перпендикулярные оси, пересекающиеся в O = (0, 0). Абсцисса x задаёт горизонтальное смещение, ордината y — вертикальное. Пара (−2, 3) означает две единицы влево и три вверх. Порядок важен: (3, −2) — другая точка. На каждой оси нужен равномерный масштаб и единица, когда она представляет величину.

Правило y = f(x) сопоставляет каждому допустимому x единственное y. Запись f(2) спрашивает результат при аргументе 2, а не f, умноженное на 2. Если f(x) = x² − 4x + 3, то f(2) = 4 − 8 + 3 = −1. На графике это точка (2, −1).

Чтобы прочитать f(1), начни с 1 на горизонтальной оси, найди точку с этой абсциссой и прочитай ординату. Для f(x) = 1 путь другой: найди все точки высоты 1 и прочитай абсциссы. Один аргумент имеет одно значение, но значение может соответствовать нескольким аргументам.

Что делает функцию квадратичной

Квадратичная функция имеет выражение f(x) = ax² + bx + c, где a, b и c — действительные константы, a ≠ 0. При нулевом a исчез бы квадратный член. На всей действительной области график — парабола. Член x² делает изменение непостоянным: увеличение x на единицу не всегда увеличивает f(x) на одинаковое число.

Начни с простого f(x) = x². Аргументы −2, −1, 0, 1 и 2 дают 4, 1, 0, 1 и 4. Противоположные аргументы дают равные значения, поскольку (−x)² = x². Таблица подсказывает симметрию, а тождество доказывает для всех действительных, не только пяти вычисленных точек.

Умножение x² на положительное a сохраняет ветви вверх; отрицательное отражает кривую ветвями вниз. Рост |a| растягивает значения вертикально относительно эталонной параболы. Коэффициент c равен f(0), ординате пересечения. b влияет на ось, но сам не является абсциссой вершины или постоянным наклоном.

Три записи одной кривой

Развёрнутая форма ax² + bx + c показывает коэффициенты и f(0). Разложенная a(x − r₁)(x − r₂), при действительных корнях, раскрывает нули r₁ и r₂. Каноническая a(x − h)² + k показывает вершину (h, k) и ось x = h. Это не три разные функции, если выражения переходят друг в друга тождествами.

Например, x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) = (x − 2)² − 1. Раскрытие произведений подтверждает равенство. Первая запись даёт f(0) = 3; вторая — нули 1 и 3; третья — вершину (2, −1). Выбор формы уменьшает работу и раскрывает основание ответа.

В канонической форме замена x = h − t на x = h + t не меняет квадрат: оба дают at² + k. Это доказывает симметрию. Поскольку квадрат неотрицателен, при a > 0 наименьшее значение k достигается в x = h. При a < 0 наибольшее k. Выводы точны и не зависят от качества рисунка.

Выделение квадрата и построение формулы корней

Для выделения квадрата x² + px прибавляем и вычитаем (p/2)², поскольку (x + p/2)² = x² + px + p²/4. Например, x² + 6x + 2 = (x + 3)² − 9 + 2 = (x + 3)² − 7. Компенсация −9 сохраняет исходное выражение; прибавление 9 без вычитания меняет функцию.

В общем случае вынеси a в первых двух членах и выдели квадрат. Результат:

Приравнивая нулю, получаем [x + b/(2a)]² = (b² − 4ac)/(4a²). Определим дискриминант Δ = b² − 4ac. При Δ ≥ 0 два варианта знака и выделение x дают x = (−b ± √Δ)/(2a). ± обозначает два выражения, а не загадочное дополнительное действие.

При Δ > 0 два разных действительных корня; при Δ = 0 один двойной; при Δ < 0 действительных корней нет: действительный квадрат не бывает отрицательным. Абсцисса вершины получается обнулением квадрата: h = −b/(2a), ордината k = f(h).

Построить и проверить эскиз

Для эскиза параболы сначала найди направление ветвей, вершину и ось. Вычисли ординату пересечения и корни, если есть. Затем проверяй симметричными парами точек. Несколько значений таблицы не разрешают соединять точки отрезками: квадратичный график — гладкая кривая всех значений области.

Для f(x) = x² − 4x + 3 таблица при x = 0, 1, 2, 3, 4 даёт 3, 0, −1, 0, 3. Функция убывает до x = 2 и затем возрастает. Положительна при x < 1 или x > 3, нулевая в 1 и 3 и отрицательна между корнями. «Отрицательная» описывает значение, а не обязательный отрицательный аргумент.

Слишком маленькое окно графика может скрыть корень или вершину. Всегда сверяй рисунок с выражением. Пересечение параболы с вертикальной осью — (0, c), а точки горизонтальной оси имеют нулевую ординату. Корень — абсцисса; соответствующая точка пересечения имеет две координаты.

Максимумы и минимумы с реальными ограничениями

Квадратичная модель требует переменных и условий. При периметре прямоугольника 24 m и стороне x метров другая равна 12 − x. Площадь в m²: A(x) = x(12 − x) = −x² + 12x = −(x − 6)² + 36. Положительность сторон даёт геометрическую область 0 < x < 12.

Квадрат показывает A(x) ≤ 36 с равенством при x = 6. Наибольшая площадь у квадрата со стороной 6 m. Бесконечное число прямоугольников проверять не нужно: тождество и неотрицательность квадрата обосновывают максимум. x = 15 допустимо в алгебре, но не представляет этот прямоугольник.

Если область ограничена промежутком без абсциссы вершины, экстремум задачи может быть на границе. В конце укажи искомую величину: 6 m — сторона, 36 m² — площадь. График помогает думать, алгебра поддерживает вывод.

Решённые примеры без пропуска шагов

Сначала проследи рассуждение. Затем закрой решение и попробуй восстановить его своими словами.

Теперь попробуй сам

Секундомера нет. Запиши известное, выбери соотношение и обоснуй каждый шаг. Подсказки и решения доступны, когда понадобятся.

Ошибки, которых стоит избегать

Корень — полная точка графика.

Корень — аргумент x с нулевым значением; точка (x, 0).

Коэффициент b — наклон параболы.

У параболы нет постоянного наклона; b влияет на положение оси.

Выделение квадрата разрешает прибавить константу без компенсации.

Нужно прибавить и вычесть одну константу для сохранения выражения.

Вершина всегда решает прикладную задачу.

Нужно проверить допустимую область и искомую величину.