Variação e aproximação

Rever o significado da taxa

Se uma função f é derivável em a, o quociente [f(a+h)−f(a)]/h aproxima-se de f′(a) quando h→0. Para h pequeno, podemos portanto escrever f(a+h)−f(a) aproximadamente igual a f′(a)h. O produto tem a unidade correta: a unidade da derivada é saída por entrada e a de h é entrada. A estimativa final volta à unidade da saída.

A derivada não diz que a taxa é exatamente constante numa vizinhança. Diz que uma taxa constante fornece a melhor descrição de primeira ordem suficientemente perto do ponto. Se uma medida de comprimento muda 0,02 cm, a área de um quadrado muda de uma forma que depende do comprimento inicial. O mesmo incremento pode ter efeitos muito diferentes em sistemas diferentes ou em regiões diferentes da mesma função.

Construir a linearização

A reta tangente em a é L(x)=f(a)+f′(a)(x−a). Chama-se linearização de f nesse ponto. Para estimar f(a+h), escolhe uma base a onde f(a) e f′(a) sejam fáceis de calcular. A proximidade deve ser avaliada na escala da função, e não apenas pelo número de casas decimais. Em √x, aproximar 36,4 por uma reta em 36 é razoável; usar a mesma reta para uma entrada próxima de zero não é.

Há uma maneira precisa de expressar a aproximação: f(a+h)=f(a)+f′(a)h+r(h), onde r(h)/h→0. O resto r(h) torna-se pequeno em comparação com h. Isto não implica que o resto seja zero, nem fornece por si só um limite numérico para um h escolhido. Para controlar quantitativamente esse erro, precisamos de informação adicional sobre a função no intervalo considerado.

Variação exata, diferencial e erro

A variação exata é Δy=f(a+h)−f(a). O diferencial dy=f′(a)h é a variação prevista pela reta. O erro assinado da estimativa é L(a+h)−f(a+h); o erro absoluto é o seu módulo. Um erro relativo divide o erro absoluto pelo módulo do valor exato, quando esse valor não é zero. Multiplicar por 100 dá o erro percentual. Convém declarar o denominador usado, sobretudo se estamos a comparar mudanças em vez de valores totais.

Para f(x)=x², temos Δy=2ah+h² e dy=2ah. A diferença é h², que revela diretamente o termo desprezado. Em a=10 e h=0,1, a mudança real é 2,01, enquanto o diferencial é 2. O erro absoluto na mudança é 0,01; relativamente à mudança é cerca de 0,498%, mas relativamente ao valor final 102,01 é cerca de 0,0098%. As duas percentagens respondem a perguntas diferentes.

Curvatura e controlo do erro

Quando f tem segunda derivada contínua no intervalo entre a e a+h, e |f″(x)|≤M nesse intervalo, o erro da linearização é no máximo M h²/2. A ideia é que a taxa pode afastar-se de f′(a), mas essa variação é controlada pela curvatura; acumular esse desvio produz um termo quadrático. Aqui usamos este resultado como extensão, não como consequência automática da existência de apenas uma derivada.

O sinal da curvatura também orienta a previsão. Se f″>0 em todo o pequeno intervalo, a curva fica acima da tangente: L subestima f. Se f″<0, a tangente sobrestima. Em √x, a segunda derivada é −1/(4x^3/2) para x>0, portanto a aproximação pela tangente sobrestima. Perto de zero a curvatura cresce muito em módulo, avisando que a mesma distância horizontal pode gerar um erro maior.

Sensibilidade e incerteza de medição

Se o lado ℓ de um quadrado tem pequena incerteza Δℓ, a área A=ℓ² tem variação aproximada 2ℓΔℓ. Dividindo por A, obtemos ΔA/A aproximadamente 2Δℓ/ℓ. Para V=ℓ³, a incerteza relativa aproxima-se de 3Δℓ/ℓ. Estas relações supõem pequenas variações relativas e um modelo geométrico adequado; não substituem intervalos exatos quando se exige garantia.

Uma tolerância simétrica na entrada pode produzir uma tolerância assimétrica na saída. Se ℓ=10±0,1 cm, a área está exatamente entre 9,9²=98,01 e 10,1²=102,01 cm². A estimativa diferencial seria 100±2 cm². Ela explica bem a escala do efeito, mas os extremos exatos mostram o pequeno termo quadrático. Se a função deixa de ser monótona no intervalo de incerteza, é preciso estudar também os pontos interiores, e não apenas substituir os extremos.

Aplicação crítica e precisão

A linearização é útil para cálculo mental, calibração de instrumentos e análise de pequenas perturbações. Também explica por que não devemos dar significado físico a todas as casas decimais produzidas por uma calculadora. Uma entrada medida com incerteza transporta essa incerteza para a saída; mais dígitos na operação não removem a limitação inicial.

Antes de usar uma estimativa, define a tolerância aceitável e verifica o domínio ao longo do intervalo. Um modelo com denominador próximo de zero pode amplificar muito uma pequena mudança. Uma linearização pode até prever valores negativos para uma grandeza sempre positiva quando é extrapolada demasiado longe. A solução é voltar à função original, mudar o ponto de referência ou usar uma aproximação mais rica. A utilidade do método depende de reconhecer esse limite, não de o aplicar a qualquer distância.

Exemplos resolvidos, sem saltar passos

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Erros que vale a pena evitar

A tangente coincide com a função perto do ponto.

Em geral apenas aproxima; existe um resto que precisa de ser avaliado.

Um incremento de 0,1 é sempre pequeno.

A escala, a proximidade de singularidades e a curvatura determinam o erro.

Incerteza relativa e absoluta têm as mesmas unidades.

A incerteza absoluta tem a unidade da grandeza; a relativa é uma razão sem dimensão.