Derivadas e taxa de variação

Rever declives, incrementos e unidades

Para dois pontos de um gráfico, o declive é a variação vertical dividida pela horizontal. Se a entrada muda de a para a+h, o incremento da entrada é h e o da saída é f(a+h)−f(a). Usa parênteses: subtrair f(a) significa subtrair toda a expressão. A taxa média é [f(a+h)−f(a)]/h e só está definida para h≠0, com ambas as entradas no domínio.

Se a entrada é tempo em segundos e a saída posição em metros, a taxa tem unidade m/s. Se a entrada é número de produtos e a saída custo em unidades monetárias, a taxa é custo por produto. Portanto, uma derivada não é apenas um número associado a um gráfico: traduz a sensibilidade de uma grandeza a outra. Uma mudança da unidade horizontal altera o valor numérico dessa taxa.

Da secante à tangente

Uma secante passa por dois pontos distintos da curva. Mantém um ponto fixo, em a, e aproxima o outro fazendo h tender para zero. Se os declives convergirem para um mesmo número finito pelos lados permitidos, esse número é f′(a), a derivada em a. Na definição usual num ponto interior exige-se um limite bilateral.

Não substituímos h=0 no quociente: isso geralmente daria 0/0. Simplificamos para h≠0 e só depois tomamos o limite. A tangente é a reta y=f(a)+f′(a)(x−a), que conserva o ponto e o declive local. Pode atravessar a curva ou voltar a encontrá-la noutro lugar. A ideia de tocar uma única vez, útil para certas circunferências, não é a definição geral de tangente.

Deduzir uma regra antes de a usar

Para f(x)=x², calcula f(a+h)=(a+h)²=a²+2ah+h². Subtraindo a² e dividindo por h, para h≠0, surge 2a+h. O limite é 2a. Como a pode ser qualquer real, a função derivada é f′(x)=2x. Para uma constante, o numerador é zero e a derivada é zero. Para f(x)=mx+b, o numerador é mh e a derivada é m.

A regra da potência generaliza o resultado: a derivada de xⁿ é nxⁿ⁻¹, nos pontos em que a função e a derivação real fazem sentido. Para expoentes inteiros positivos, o desenvolvimento de (x+h)ⁿ deixa, após dividir por h, um termo nxⁿ⁻¹ e termos com fatores h que desaparecem no limite. A regra funciona também para muitos expoentes não inteiros, mas o domínio deve ser analisado: √x tem derivada 1/(2√x) apenas para x>0.

Combinar taxas: soma, produto e composição

A derivada de uma soma é a soma das derivadas; uma constante multiplicativa acompanha a derivada. Num produto uv, a mudança inclui a mudança de u com v quase fixo e a mudança de v com u quase fixo. Isso conduz a (uv)′=u′v+uv′. Não é u′v′. Num quociente, (u/v)′=(u′v−uv′)/v², onde v≠0 e as funções são deriváveis.

Uma composição descreve uma transformação dentro de outra. Se y=g(u) e u=f(x), uma pequena mudança em x produz aproximadamente f′(x) vezes essa mudança em u; depois g′(u) multiplica-a. Assim, [g(f(x))]′=g′(f(x))f′(x). Para (3x+1)², o fator exterior é 2(3x+1) e o interior é 3. O resultado 6(3x+1) pode ser confirmado expandindo o polinómio. Estes dois caminhos constituem uma verificação útil.

Quando a derivada falha

A função |x| é contínua em zero, mas os declives laterais são −1 e 1. Não há uma derivada única nesse ponto. Continuidade não garante derivabilidade. A implicação contrária é válida: se existe uma derivada finita em a, então f é contínua em a. De facto, a mudança f(a+h)−f(a) é o quociente de diferenças multiplicado por h; o primeiro fator tende para um número finito e o segundo para zero.

Uma descontinuidade impede derivabilidade no ponto. Uma tangente vertical também não corresponde a uma derivada real finita, embora se possa estudar um declive ilimitado. Num extremo de domínio pode haver derivada lateral; deve ser identificada como tal. Ao derivar 1/x, a fórmula −1/x² não autoriza x=0: a função original nem sequer existe nessa entrada. Domínio da derivada e domínio da função podem ser diferentes.

Ler taxas no contexto e nos dados

Se s(t) representa posição, s′(t) é velocidade, com sinal dependente do eixo; rapidez é |s′(t)|. A aceleração é a derivada da velocidade, não a própria velocidade. Uma derivada negativa significa saída a diminuir, não necessariamente saída negativa. Um reservatório pode conter muito líquido enquanto o seu volume diminui.

Com dados medidos, uma taxa instantânea é estimada a partir de taxas em intervalos pequenos. Diminuir demais o intervalo pode ampliar erros de medição: dividir uma pequena diferença ruidosa por um intervalo minúsculo torna a estimativa instável. Para uma função suave, a diferença central [f(a+h)−f(a−h)]/(2h) pode ser útil, mas continua a ser aproximação. Finalmente, derivada zero num instante não significa função constante: t² tem derivada zero em zero e varia em qualquer vizinhança. É o comportamento num intervalo que permite concluir constância.

Exemplos resolvidos, sem saltar passos

Acompanha primeiro o raciocínio. Depois tapa a resolução e tenta reconstruí-la com as tuas palavras.

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Não há cronómetro. Escreve o que sabes, escolhe uma relação e justifica cada passo. As pistas e soluções ficam disponíveis quando precisares.

Erros que vale a pena evitar

A derivada de um produto é o produto das derivadas.

Cada fator contribui para a variação; usa u′v+uv′.

Derivada zero implica máximo ou mínimo.

É apenas um candidato; x³ tem derivada zero em 0 e continua crescente.

Uma função contínua tem sempre derivada.

Uma esquina como |x| em zero impede a existência de declive único.