Números reais e notação científica

Recomeçar pelas operações e pelo significado da fração

Uma fração a/b representa a divisão de a por b, com b diferente de zero. Em 3/4, o denominador indica quatro partes iguais da unidade e o numerador indica três dessas partes. A unidade escolhida importa: três quartos de um metro e três quartos de um quilómetro têm o mesmo valor numérico, mas representam comprimentos diferentes. Multiplicar numerador e denominador pelo mesmo número não nulo conserva o quociente: 3/4 = 6/8.

Para somar frações precisamos de partes do mesmo tamanho. Assim, 2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12. Para multiplicar, 2/3 × 1/4 = 2/12 = 1/6: estamos a tomar dois terços de um quarto. Dividir por 3/5 equivale a multiplicar por 5/3, porque o produto desses dois números é 1. Por exemplo, (4/7) ÷ (3/5) = 20/21.

Os sinais descrevem posições ou sentidos. O oposto de −6 é 6; subtrair −6 é adicionar 6. Já o inverso de −6 é −1/6, pois o produto é 1. Zero tem oposto, mas não tem inverso multiplicativo. Antes de usar uma calculadora, identifica parênteses, potências, multiplicações e divisões, e só depois adições e subtrações. Multiplicações e divisões no mesmo nível resolvem-se da esquerda para a direita; o mesmo vale para adições e subtrações no mesmo nível, depois das operações prioritárias. Potências encadeadas exigem atenção à estrutura dos expoentes: 2^(3²) = 512, enquanto (2³)² = 64. Usa parênteses para tornar essa estrutura inequívoca.

Múltiplos, fatores e um denominador comum com significado

Um inteiro positivo d é divisor de n quando n = dk para algum inteiro k. Um múltiplo positivo de d tem a forma d, 2d, 3d, e assim por diante. Um número primo tem exatamente dois divisores positivos: 1 e ele próprio. O 1 não é primo. Decompor um inteiro positivo maior que 1 em fatores primos organiza a sua estrutura multiplicativa.

Por exemplo, 18 = 2 × 3² e 30 = 2 × 3 × 5. Um múltiplo comum precisa de conter os fatores suficientes para ser divisível por ambos. O mínimo múltiplo comum, m.m.c., usa cada primo com o maior expoente necessário: m.m.c.(18,30) = 2 × 3² × 5 = 90. Por que não multiplicar logo 18 por 30? Esse produto também é múltiplo comum, mas repete fatores que bastava incluir uma vez e nem sempre é o menor.

O máximo divisor comum, m.d.c., usa os fatores que aparecem em ambos, com os menores expoentes: m.d.c.(18,30) = 2 × 3 = 6. É útil para simplificar frações ou formar grupos iguais sem sobras. Não confundas o maior divisor com o menor múltiplo: respondem a perguntas diferentes.

Somar frações exige contar partes com a mesma dimensão. Para 7/18 + 1/30, o denominador 90 permite escrever 35/90 + 3/90 = 38/90 = 19/45. Multiplicámos numerador e denominador pelo mesmo número, conservando o valor de cada fração. Não somamos diretamente os denominadores: isso mudaria a dimensão das partes sem uma justificação.

Com três números o raciocínio é o mesmo. Para 8 = 2³, 12 = 2² × 3 e 30 = 2 × 3 × 5, o m.m.c. é 2³ × 3 × 5 = 120. Confere divisões: 120/8 = 15, 120/12 = 10 e 120/30 = 4, todas inteiras. O método dos maiores expoentes explica também por que esse múltiplo é o menor positivo possível.

Que números pertencem aos reais?

Chamamos inteiros aos números …, −2, −1, 0, 1, 2, … e representamos o seu conjunto por ℤ. Os racionais, ℚ, são os números que podem escrever-se como a/b com a e b inteiros e b ≠ 0. Portanto, −8 é racional porque −8 = −8/1. Um decimal finito também é racional: 0,045 = 45/1000 = 9/200. Um decimal periódico, com um bloco que se repete indefinidamente, é igualmente racional.

Podemos demonstrar essa última ideia num caso concreto. Se x = 0,272727…, então 100x = 27,272727…. Subtraindo as igualdades obtemos 99x = 27, logo x = 27/99 = 3/11. A repetição infinita é exata; escrever apenas 0,27 já seria uma aproximação.

Os irracionais são reais que não admitem essa escrita como quociente de inteiros. √2 e π são exemplos. O símbolo ℝ reúne racionais e irracionais. A aparência não decide a classificação: √81 = 9 é racional, enquanto √80 = 4√5 é irracional. A escrita dos naturais varia entre convenções que incluem ou excluem zero; aqui, quando precisarmos de contar objetos, indicaremos explicitamente 0, 1, 2, … ou 1, 2, 3, ….

Reta real, distância e comparação

Na reta real, cada número corresponde a um ponto e a ordem cresce para a direita. Assim, −7 < −3, embora 7 > 3: uma dívida de sete unidades deixa um saldo menor do que uma dívida de três. O valor absoluto |x| é a distância de x a zero e nunca é negativo; por exemplo, |−7| = 7. A distância entre a e b é |a − b|, pelo que entre −3 e 5 há |5 − (−3)| = 8 unidades.

Para comparar frações com denominadores positivos podemos usar um denominador comum. Temos 5/8 = 15/24 e 2/3 = 16/24, logo 5/8 < 2/3. Se houver denominadores negativos, começa por colocar o sinal no numerador. Para comparar raízes não negativas, compara os seus quadrados: como 3² < 13 < 4², segue-se 3 < √13 < 4.

Uma aproximação pode ajudar a localizar um ponto, mas não substitui uma prova quando a diferença é pequena. Saber que √13 ≈ 3,606 permite um esboço; saber que 3,60² = 12,96 e 3,61² = 13,0321 justifica o intervalo 3,60 < √13 < 3,61. O símbolo ≈ avisa que houve arredondamento.

Porque funcionam as regras das potências

Para expoente inteiro positivo, aⁿ significa um produto de n fatores iguais a a. Juntar dois produtos da mesma base dá a^maⁿ = a^m+n. Elevar um produto repetido a outra potência dá (a^m)ⁿ = a^mn. Já somar potências não permite somar expoentes: 2² + 2³ = 4 + 8 = 12, e não 2⁵.

Para a ≠ 0, queremos conservar a regra do quociente. Como a³/a³ = 1, definimos a⁰ = 1. Como a²/a⁵ = 1/a³, definimos a⁻³ = 1/a³. O expoente negativo indica um inverso, não um resultado negativo: 10⁻⁴ = 0,0001. A expressão 0⁰ não recebe aqui um valor, e zero elevado a expoente negativo não existe.

Os parênteses mudam a base: (−4)² = 16, enquanto −4² = −16, pois nesta última escrita a potência atua primeiro sobre 4. Para raízes quadradas reais exigimos radicando não negativo e escolhemos a raiz principal, também não negativa. Por isso √(x²) = |x|, e não sempre x: para x = −5, a raiz é 5.

Notação científica e escala decimal

Um número positivo está em notação científica quando se escreve c × 10ⁿ, com 1 ≤ c < 10 e n inteiro. Para um número negativo, o módulo do coeficiente fica nesse intervalo. O coeficiente mostra os algarismos significativos e a potência mostra a escala. Assim, 5 700 000 = 5,7 × 10⁶ e 0,000082 = 8,2 × 10⁻⁵. Zero escreve-se simplesmente 0.

Deslocar a vírgula não é uma operação sem compensação. Em 57 × 10⁵, reduzir 57 a 5,7 divide o coeficiente por dez; aumentar o expoente para 6 multiplica a potência por dez, conservando o produto. Nas multiplicações multiplicamos coeficientes e somamos expoentes; nas divisões dividimos coeficientes e subtraímos expoentes. Depois normalizamos a escrita.

Nas somas precisamos primeiro da mesma potência de dez: 3,2 × 10⁵ + 7 × 10⁴ = 3,2 × 10⁵ + 0,7 × 10⁵ = 3,9 × 10⁵. A notação E da calculadora significa «vezes dez elevado a»: 8,2E−5 representa 8,2 × 10⁻⁵. Não se trata de subtrair cinco ao coeficiente.

Unidades, arredondamento e controlo do resultado

Uma medição combina número e unidade. A igualdade 2,4 × 10³ m = 2,4 km mantém o comprimento, embora o número mude. Para converter áreas, o fator também se eleva ao quadrado: 1 cm² = (10⁻² m)² = 10⁻⁴ m². Para volumes, 1 cm³ = 10⁻⁶ m³. Escrever apenas «multiplicar por cem» sem identificar a grandeza pode produzir erros de milhares.

Arredondar às centésimas significa escolher o múltiplo de 0,01 mais próximo. Por exemplo, 6,284 fica 6,28. O erro absoluto desta aproximação é 0,004. O erro relativo compara esse erro com o valor de referência; multiplicado por cem dá uma percentagem. Guarda algarismos intermédios e arredonda no fim para reduzir a acumulação de erros.

Antes de aceitar um cálculo, faz três perguntas: o sinal faz sentido, a escala é plausível e a unidade é a pedida? Se dividir uma distância por um tempo, a unidade final é comprimento por tempo. Se um objeto de poucos centímetros aparecer como tendo milhares de metros, verifica os expoentes e a conversão. A precisão apresentada também deve respeitar a precisão dos dados medidos.

Exemplos resolvidos, sem saltar passos

Acompanha primeiro o raciocínio. Depois tapa a resolução e tenta reconstruí-la com as tuas palavras.

Agora, experimenta tu

Não há cronómetro. Escreve o que sabes, escolhe uma relação e justifica cada passo. As pistas e soluções ficam disponíveis quando precisares.

Erros que vale a pena evitar

Todo o decimal infinito é irracional.

Os periódicos, como 0,333…, são racionais; os irracionais têm expansão infinita não periódica.

Um expoente negativo torna o número negativo.

Para base positiva dá um inverso positivo: 10⁻³ = 1/1000.

Converter cm² em m² usa o mesmo fator que converter cm em m.

O fator do comprimento é elevado ao quadrado quando convertemos áreas.

√(x²) é sempre x.

É |x|, porque a raiz quadrada principal é não negativa.