Expressões, equações e sistemas

Bases: letras, operações e igualdade

Uma letra pode representar um valor ainda desconhecido ou um valor que varia. Na expressão 4x + 3, a escrita 4x significa 4 × x. Se x = −2, o valor da expressão é 4(−2) + 3 = −5. Uma expressão, sozinha, não é verdadeira nem falsa. Já 4x + 3 = 15 é uma equação: pergunta para que valores de x os dois membros são iguais.

Termos semelhantes têm a mesma parte literal. Por isso, 5x + 2x = 7x, mas 5x + 2x² não se reduz a 7x³. A distributividade permite 3(x − 4) = 3x − 12. Um sinal menos diante de parênteses equivale a multiplicar cada termo por −1: −(2x − 7) = −2x + 7. Esta pequena revisão previne muitos erros posteriores.

Uma identidade vale para todos os valores permitidos: 2(x + 3) = 2x + 6. Uma equação condicional vale apenas em parte do domínio: 2x + 6 = 10 exige x = 2. Ao simplificar uma igualdade podemos encontrar uma verdade como 0 = 0, que indica todos os valores do domínio, ou uma contradição como 0 = 5, que indica ausência de soluções.

Da soma ao produto: fatorização

Fatorizar é escrever uma expressão como produto. É a distributividade lida ao contrário: 6x² − 9x = 3x(2x − 3). O fator comum inclui o maior fator numérico conveniente e a menor potência de cada letra presente em todos os termos. Para conferir, volta a multiplicar: 3x × 2x = 6x² e 3x × (−3) = −9x.

Os produtos notáveis também funcionam nos dois sentidos. Temos (a + b)² = a² + 2ab + b² e (a − b)(a + b) = a² − b². O termo intermédio do quadrado vem dos dois produtos ab e ba; não pode desaparecer. Para x² − 7x + 12, procuramos dois números cuja soma seja −7 e cujo produto seja 12: são −3 e −4, logo a expressão é (x − 3)(x − 4).

Quando um produto é zero, pelo menos um dos fatores é zero. Assim, (x − 3)(x − 4) = 0 tem soluções 3 e 4. Esta regra depende de o produto ser igual a zero. De (x − 3)(x − 4) = 6 não podemos concluir que um dos fatores é 6; teremos de reorganizar a equação.

Resolver conservando a condição original

Adicionar ou subtrair o mesmo número aos dois membros preserva a igualdade. Multiplicar ou dividir ambos por um número não nulo também. A expressão informal «passar para o outro lado» esconde estas operações: em 7x − 5 = 23, adicionamos 5 aos dois membros, obtendo 7x = 28, e dividimos ambos por 7 para chegar a x = 4.

Se há denominadores, registamos primeiro os valores proibidos. Em (x + 2)/(x − 1) = 4, precisamos de x ≠ 1. Multiplicar por x − 1 dentro desse domínio dá x + 2 = 4x − 4; assim x = 2, que é permitido. Cancelar um fator não permite restaurar um ponto onde a expressão original não existia.

Também não devemos dividir por uma expressão que pode ser zero sem estudar esse caso. Em x(x − 5) = 0, dividir por x perderia a solução x = 0. A fatorização conserva ambas as possibilidades: x = 0 ou x = 5. No fim, substituir na equação original verifica cada candidato e ajuda a detetar erros de sinal ou de domínio.

Inequações: porque se inverte o sinal

Uma inequação compara valores por <, >, ≤ ou ≥. Adicionar o mesmo número aos dois lados conserva a ordem: se a < b, então a + c < b + c. Multiplicar por um número positivo também conserva a ordem. Multiplicar por um número negativo inverte-a. Para perceber porquê, parte de 2 < 5: os opostos são −2 e −5, e −2 > −5, pois a reta foi refletida em zero.

Em geral, se a < b, a diferença b − a é positiva. Para c < 0, o produto c(b − a) é negativo, isto é, cb − ca < 0; portanto cb < ca. A inversão tem uma razão matemática e não é um ritual reservado a uma ficha de exercícios.

Por exemplo, −3x + 2 ≤ 11 implica −3x ≤ 9 e, dividindo por −3, x ≥ −3. O ponto −3 está incluído porque a desigualdade admite igualdade. A solução é um conjunto de números, não apenas um número: [−3, +∞[. Se multiplicares uma inequação por uma expressão de sinal desconhecido, precisas de separar casos; o sinal não se pode adivinhar.

Raízes quadradas e candidatos estranhos

Uma equação do segundo grau tem a forma ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. Podemos resolver algumas por fatorização e outras isolando um quadrado. Se (x − 2)² = 25, então x − 2 = 5 ou x − 2 = −5, pelo que x = 7 ou x = −3. A raiz principal √25 é 5; são os dois sinais da incógnita que originam as duas soluções.

Elevar ambos os membros ao quadrado exige cuidado. De a = b segue-se a² = b², mas a² = b² também permite a = −b. A transformação pode, portanto, produzir candidatos estranhos. Em √(x + 6) = x, o domínio e a não negatividade do primeiro membro exigem x ≥ 0. Quadrando obtemos x + 6 = x², ou (x − 3)(x + 2) = 0.

Os candidatos são 3 e −2, mas só 3 satisfaz a equação inicial: √9 = 3. Para −2, √4 = 2, diferente de −2. O cálculo não «fabricou» uma solução válida; produziu uma condição mais permissiva que precisava de verificação. Esta distinção volta a aparecer com logaritmos e outras operações não reversíveis.

Duas condições sobre as mesmas incógnitas

Um sistema exige que todas as equações se verifiquem ao mesmo tempo. O par (x, y) é ordenado: trocar as coordenadas pode mudar a resposta. Na substituição, isolamos uma letra numa equação e colocamos a expressão obtida na outra. Na eliminação, somamos equações depois de multiplicações convenientes, para anular uma das letras. Ambas as técnicas procuram o mesmo conjunto de pares.

Se x + y = 9 e 2x − y = 6, somar as igualdades dá 3x = 15. Encontramos x = 5 e, na primeira, y = 4. A eliminação funcionou porque y e −y somam zero. A verificação deve usar as duas equações: um par que satisfaça apenas uma condição não resolve o sistema.

No plano, cada equação linear com dois coeficientes não simultaneamente nulos representa uma reta. Retas que se cruzam dão uma solução; paralelas distintas não dão nenhuma; coincidentes dão infinitas. Ao modelar, define letras e unidades antes das equações. Se representam quantidades de objetos, soluções negativas ou não inteiras podem ser incompatíveis com o contexto, mesmo que satisfaçam as contas.

Exemplos resolvidos, sem saltar passos

Acompanha primeiro o raciocínio. Depois tapa a resolução e tenta reconstruí-la com as tuas palavras.

Agora, experimenta tu

Não há cronómetro. Escreve o que sabes, escolhe uma relação e justifica cada passo. As pistas e soluções ficam disponíveis quando precisares.

Erros que vale a pena evitar

Mudar um termo de lado é uma regra sem justificação.

A mudança resume somar ou subtrair o mesmo termo aos dois membros.

Dividir uma inequação por −2 conserva o sinal.

O sinal inverte-se porque multiplicar por negativo inverte a ordem na reta.

Todos os resultados depois de quadrar são soluções.

São candidatos; é necessário verificar na equação original e respeitar o domínio.

Um sistema fica resolvido ao encontrar x.

É preciso encontrar o par completo e verificar todas as equações.