Números reales y notación científica

Volver a las operaciones y al significado de la fracción

Una fracción a/b representa la división de a por b, con b distinto de cero. En 3/4, el denominador indica cuatro partes iguales de la unidad y el numerador indica tres de esas partes. La unidad elegida importa: tres cuartos de un metro y tres cuartos de un kilómetro tienen el mismo valor numérico, pero representan longitudes diferentes. Multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número no nulo conserva el cociente: 3/4 = 6/8.

Para sumar fracciones necesitamos partes del mismo tamaño. Así, 2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12. Para multiplicar, 2/3 × 1/4 = 2/12 = 1/6: estamos tomando dos tercios de un cuarto. Dividir por 3/5 equivale a multiplicar por 5/3, porque el producto de esos dos números es 1. Por ejemplo, (4/7) ÷ (3/5) = 20/21.

Los signos describen posiciones o sentidos. El opuesto de −6 es 6; restar −6 es sumar 6. En cambio, el inverso de −6 es −1/6, pues el producto es 1. Cero tiene opuesto, pero no tiene inverso multiplicativo. Antes de usar una calculadora, identifica paréntesis, potencias, multiplicaciones y divisiones, y solo después sumas y restas. Las multiplicaciones y divisiones del mismo nivel se resuelven de izquierda a derecha; lo mismo ocurre con las sumas y restas del mismo nivel, después de las operaciones prioritarias. Las potencias encadenadas exigen atención a la estructura de los exponentes: 2^(3²) = 512, mientras que (2³)² = 64. Usa paréntesis para que esa estructura sea inequívoca.

Múltiplos, factores y un denominador común con significado

Un entero positivo d es divisor de n cuando n = dk para algún entero k. Un múltiplo positivo de d tiene la forma d, 2d, 3d, y así sucesivamente. Un número primo tiene exactamente dos divisores positivos: 1 y él mismo. El 1 no es primo. Descomponer un entero positivo mayor que 1 en factores primos organiza su estructura multiplicativa.

Por ejemplo, 18 = 2 × 3² y 30 = 2 × 3 × 5. Un múltiplo común necesita contener los factores suficientes para ser divisible por ambos. El mínimo común múltiplo, m.c.m., usa cada primo con el mayor exponente necesario: m.c.m.(18,30) = 2 × 3² × 5 = 90. ¿Por qué no multiplicar directamente 18 por 30? Ese producto también es un múltiplo común, pero repite factores que bastaba incluir una vez y no siempre es el menor.

O máximo común divisor, m.c.d., usa los factores que aparecen en ambos, con los menores exponentes: m.c.d.(18,30) = 2 × 3 = 6. Es útil para simplificar fracciones o formar grupos iguales sin que sobre nada. No confundas el mayor divisor con el menor múltiplo: responden a preguntas diferentes.

Sumar fracciones exige contar partes del mismo tamaño. Para 7/18 + 1/30, el denominador 90 permite escribir 35/90 + 3/90 = 38/90 = 19/45. Hemos multiplicado el numerador y el denominador por el mismo número, conservando el valor de cada fracción. No sumamos directamente los denominadores: eso cambiaría el tamaño de las partes sin justificación.

Con tres números el razonamiento es el mismo. Para 8 = 2³, 12 = 2² × 3 y 30 = 2 × 3 × 5, el m.c.m. es 2³ × 3 × 5 = 120. Comprueba las divisiones: 120/8 = 15, 120/12 = 10 y 120/30 = 4, todas enteras. El método de los mayores exponentes explica también por qué ese múltiplo es el menor positivo posible.

¿Qué números pertenecen a los reales?

Llamamos enteros a los números …, −2, −1, 0, 1, 2, … y representamos su conjunto mediante ℤ. Los racionales, ℚ, son los números que pueden escribirse como a/b con a y b enteros y b ≠ 0. Por tanto, −8 es racional porque −8 = −8/1. Un decimal finito también es racional: 0,045 = 45/1000 = 9/200. Un decimal periódico, con un bloque que se repite indefinidamente, también es racional.

Podemos demostrar esa última idea en un caso concreto. Si x = 0,272727…, entonces 100x = 27,272727…. Restando las igualdades obtenemos 99x = 27, por tanto x = 27/99 = 3/11. La repetición infinita es exacta; escribir solo 0,27 ya sería una aproximación.

Los irracionales son reales que no admiten esa escritura como cociente de enteros. √2 y π son ejemplos. El símbolo ℝ reúne racionales e irracionales. La apariencia no decide la clasificación: √81 = 9 es racional, mientras que √80 = 4√5 es irracional. La escritura de los naturales varía entre convenciones que incluyen o excluyen el cero; aquí, cuando necesitemos contar objetos, indicaremos explícitamente 0, 1, 2, … o 1, 2, 3, ….

Recta real, distancia y comparación

En la recta real, cada número corresponde a un punto y el orden crece hacia la derecha. Así, −7 < −3, aunque 7 > 3: una deuda de siete unidades deja un saldo menor que una deuda de tres. El valor absoluto |x| es la distancia de x a cero y nunca es negativo; por ejemplo, |−7| = 7. La distancia entre a y b es |a − b|, por lo que entre −3 y 5 hay |5 − (−3)| = 8 unidades.

Para comparar fracciones con denominadores positivos podemos usar un denominador común. Tenemos 5/8 = 15/24 y 2/3 = 16/24, por tanto 5/8 < 2/3. Si hay denominadores negativos, empieza por colocar el signo en el numerador. Para comparar raíces no negativas, compara sus cuadrados: como 3² < 13 < 4², se sigue 3 < √13 < 4.

Una aproximación puede ayudar a localizar un punto, pero no sustituye una demostración cuando la diferencia es pequeña. Saber que √13 ≈ 3,606 permite un esbozo; saber que 3,60² = 12,96 y 3,61² = 13,0321 justifica el intervalo 3,60 < √13 < 3,61. El símbolo ≈ avisa de que ha habido redondeo.

Por qué funcionan las reglas de las potencias

Para un exponente entero positivo, aⁿ significa un producto de n factores iguales a a. Juntar dos productos de la misma base da a^maⁿ = a^m+n. Elevar un producto repetido a otra potencia da (a^m)ⁿ = a^mn. En cambio, sumar potencias no permite sumar exponentes: 2² + 2³ = 4 + 8 = 12, y no 2⁵.

Para a ≠ 0, queremos conservar la regla del cociente. Como a³/a³ = 1, definimos a⁰ = 1. Como a²/a⁵ = 1/a³, definimos a⁻³ = 1/a³. El exponente negativo indica un inverso, no un resultado negativo: 10⁻⁴ = 0,0001. La expresión 0⁰ no recibe aquí un valor, y cero elevado a un exponente negativo no existe.

Los paréntesis cambian la base: (−4)² = 16, mientras que −4² = −16, pues en esta última escritura la potencia actúa primero sobre 4. Para raíces cuadradas reales exigimos un radicando no negativo y elegimos la raíz principal, también no negativa. Por eso √(x²) = |x|, y no siempre x: para x = −5, la raíz es 5.

Notación científica y escala decimal

Un número positivo está en notación científica cuando se escribe c × 10ⁿ, con 1 ≤ c < 10 y n entero. Para un número negativo, el módulo del coeficiente queda en ese intervalo. El coeficiente muestra las cifras significativas y la potencia muestra la escala. Así, 5 700 000 = 5,7 × 10⁶ y 0,000082 = 8,2 × 10⁻⁵. Cero se escribe simplemente 0.

Desplazar la coma no es una operación sin compensación. En 57 × 10⁵, reducir 57 a 5,7 divide el coeficiente por diez; aumentar el exponente a 6 multiplica la potencia por diez, conservando el producto. En las multiplicaciones multiplicamos coeficientes y sumamos exponentes; en las divisiones dividimos coeficientes y restamos exponentes. Después normalizamos la escritura.

En las sumas necesitamos primero la misma potencia de diez: 3,2 × 10⁵ + 7 × 10⁴ = 3,2 × 10⁵ + 0,7 × 10⁵ = 3,9 × 10⁵. La notación E de la calculadora significa «por diez elevado a»: 8,2E−5 representa 8,2 × 10⁻⁵. No se trata de restar cinco al coeficiente.

Unidades, redondeo y control del resultado

Una medición combina número y unidad. La igualdad 2,4 × 10³ m = 2,4 km mantiene la longitud, aunque cambie el número. Para convertir áreas, el factor también se eleva al cuadrado: 1 cm² = (10⁻² m)² = 10⁻⁴ m². Para volúmenes, 1 cm³ = 10⁻⁶ m³. Escribir solo «multiplicar por cien» sin identificar la magnitud puede producir errores de miles.

Redondear a las centésimas significa elegir el múltiplo de 0,01 más próximo. Por ejemplo, 6,284 queda en 6,28. El error absoluto de esta aproximación es 0,004. El error relativo compara ese error con el valor de referencia; multiplicado por cien da un porcentaje. Guarda cifras intermedias y redondea al final para reducir la acumulación de errores.

Antes de aceptar un cálculo, haz tres preguntas: ¿el signo tiene sentido, la escala es plausible y la unidad es la pedida? Si divides una distancia por un tiempo, la unidad final es longitud por tiempo. Si un objeto de pocos centímetros aparece como si tuviera miles de metros, comprueba los exponentes y la conversión. La precisión presentada también debe respetar la precisión de los datos medidos.

Ejemplos resueltos, sin saltar pasos

Sigue primero el razonamiento. Después tapa la resolución e intenta reconstruirla con tus palabras.

Ahora, prueba tú

No hay cronómetro. Escribe lo que sabes, elige una relación y justifica cada paso. Las pistas y soluciones están disponibles cuando las necesites.

Errores que conviene evitar

Todo decimal infinito es irracional.

Los periódicos, como 0,333…, son racionales; los irracionales tienen una expansión infinita no periódica.

Un exponente negativo hace que el número sea negativo.

Para una base positiva da un inverso positivo: 10⁻³ = 1/1000.

Convertir cm² a m² usa el mismo factor que convertir cm a m.

El factor de longitud se eleva al cuadrado cuando convertimos áreas.

√(x²) siempre es x.

Es |x|, porque la raíz cuadrada principal es no negativa.