Expresiones, ecuaciones y sistemas

Bases: letras, operaciones e igualdad

Una letra puede representar un valor aún desconocido o un valor que varía. En la expresión 4x + 3, la escritura 4x significa 4 × x. Si x = −2, el valor de la expresión es 4(−2) + 3 = −5. Una expresión, por sí sola, no es verdadera ni falsa. En cambio, 4x + 3 = 15 es una ecuación: pregunta para qué valores de x los dos miembros son iguales.

Los términos semejantes tienen la misma parte literal. Por eso, 5x + 2x = 7x, pero 5x + 2x² no se reduce a 7x³. La distributividad permite 3(x − 4) = 3x − 12. Un signo menos delante de paréntesis equivale a multiplicar cada término por −1: −(2x − 7) = −2x + 7. Este pequeño repaso previene muchos errores posteriores.

Una identidad se cumple para todos los valores permitidos: 2(x + 3) = 2x + 6. Una ecuación condicional solo se cumple en parte del dominio: 2x + 6 = 10 exige x = 2. Al simplificar una igualdad podemos encontrar una verdad como 0 = 0, que indica todos los valores del dominio, o una contradicción como 0 = 5, que indica ausencia de soluciones.

De la suma al producto: factorización

Factorizar es escribir una expresión como producto. Es la distributividad leída al revés: 6x² − 9x = 3x(2x − 3). El factor común incluye el mayor factor numérico conveniente y la menor potencia de cada letra presente en todos los términos. Para comprobarlo, vuelve a multiplicar: 3x × 2x = 6x² y 3x × (−3) = −9x.

Los productos notables también funcionan en ambos sentidos. Tenemos (a + b)² = a² + 2ab + b² y (a − b)(a + b) = a² − b². El término intermedio del cuadrado procede de los dos productos ab y ba; no puede desaparecer. Para x² − 7x + 12, buscamos dos números cuya suma sea −7 y cuyo producto sea 12: son −3 y −4, por tanto la expresión es (x − 3)(x − 4).

Cuando un producto es cero, al menos uno de los factores es cero. Así, (x − 3)(x − 4) = 0 tiene soluciones 3 y 4. Esta regla depende de que el producto sea igual a cero. De (x − 3)(x − 4) = 6 no podemos concluir que uno de los factores sea 6; tendremos que reorganizar la ecuación.

Resolver conservando la condición original

Sumar o restar el mismo número a los dos miembros conserva la igualdad. Multiplicar o dividir ambos por un número no nulo también. La expresión informal «pasar al otro lado» oculta estas operaciones: en 7x − 5 = 23, sumamos 5 a los dos miembros, obteniendo 7x = 28, y dividimos ambos por 7 para llegar a x = 4.

Si hay denominadores, registramos primero los valores prohibidos. En (x + 2)/(x − 1) = 4, necesitamos x ≠ 1. Multiplicar por x − 1 dentro de ese dominio da x + 2 = 4x − 4; así, x = 2, que está permitido. Cancelar un factor no permite restaurar un punto donde la expresión original no existía.

Tampoco debemos dividir por una expresión que puede ser cero sin estudiar ese caso. En x(x − 5) = 0, dividir por x perdería la solución x = 0. La factorización conserva ambas posibilidades: x = 0 o x = 5. Al final, sustituir en la ecuación original comprueba cada candidato y ayuda a detectar errores de signo o de dominio.

Inecuaciones: por qué se invierte el signo

Una inecuación compara valores mediante <, >, ≤ o ≥. Sumar el mismo número a ambos lados conserva el orden: si a < b, entonces a + c < b + c. Multiplicar por un número positivo también conserva el orden. Multiplicar por un número negativo lo invierte. Para comprender por qué, parte de 2 < 5: los opuestos son −2 y −5, y −2 > −5, pues la recta se ha reflejado respecto a cero.

En general, si a < b, la diferencia b − a es positiva. Para c < 0, el producto c(b − a) es negativo, es decir, cb − ca < 0; por tanto cb < ca. La inversión tiene una razón matemática y no es un ritual reservado a una ficha de ejercicios.

Por ejemplo, −3x + 2 ≤ 11 implica −3x ≤ 9 y, dividiendo por −3, x ≥ −3. El punto −3 está incluido porque la desigualdad admite igualdad. La solución es un conjunto de números, no solo un número: [−3, +∞[. Si multiplicas una inecuación por una expresión de signo desconocido, necesitas separar casos; el signo no se puede adivinar.

Raíces cuadradas y candidatos extraños

Una ecuación de segundo grado tiene la forma ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0. Podemos resolver algunas mediante factorización y otras aislando un cuadrado. Si (x − 2)² = 25, entonces x − 2 = 5 o x − 2 = −5, por lo que x = 7 o x = −3. La raíz principal √25 es 5; son los dos signos de la incógnita los que originan las dos soluciones.

Elevar ambos miembros al cuadrado exige cuidado. De a = b se sigue a² = b², pero a² = b² también permite a = −b. La transformación puede, por tanto, producir candidatos extraños. En √(x + 6) = x, el dominio y la no negatividad del primer miembro exigen x ≥ 0. Al elevar al cuadrado obtenemos x + 6 = x², o (x − 3)(x + 2) = 0.

Los candidatos son 3 y −2, pero solo 3 satisface la ecuación inicial: √9 = 3. Para −2, √4 = 2, diferente de −2. El cálculo no «fabricó» una solución válida; produjo una condición más permisiva que necesitaba comprobación. Esta distinción vuelve a aparecer con logaritmos y otras operaciones no reversibles.

Dos condiciones sobre las mismas incógnitas

Un sistema exige que todas las ecuaciones se cumplan al mismo tiempo. El par (x, y) es ordenado: intercambiar las coordenadas puede cambiar la respuesta. En la sustitución, aislamos una letra en una ecuación y colocamos la expresión obtenida en la otra. En la eliminación, sumamos ecuaciones después de multiplicaciones convenientes, para anular una de las letras. Ambas técnicas buscan el mismo conjunto de pares.

Si x + y = 9 y 2x − y = 6, sumar las igualdades da 3x = 15. Encontramos x = 5 y, en la primera, y = 4. La eliminación funcionó porque y y −y suman cero. La comprobación debe usar las dos ecuaciones: un par que satisfaga solo una condición no resuelve el sistema.

En el plano, cada ecuación lineal con dos coeficientes no simultáneamente nulos representa una recta. Las rectas que se cruzan dan una solución; las paralelas distintas no dan ninguna; las coincidentes dan infinitas. Al modelizar, define letras y unidades antes de las ecuaciones. Si representan cantidades de objetos, las soluciones negativas o no enteras pueden ser incompatibles con el contexto, aunque satisfagan los cálculos.

Ejemplos resueltos, sin saltar pasos

Sigue primero el razonamiento. Después tapa la resolución e intenta reconstruirla con tus palabras.

Ahora, prueba tú

No hay cronómetro. Escribe lo que sabes, elige una relación y justifica cada paso. Las pistas y soluciones están disponibles cuando las necesites.

Errores que conviene evitar

Cambiar un término de lado es una regla sin justificación.

El cambio resume sumar o restar el mismo término a los dos miembros.

Dividir una inecuación por −2 conserva el signo.

El signo se invierte porque multiplicar por un negativo invierte el orden en la recta.

Todos los resultados después de elevar al cuadrado son soluciones.

Son candidatos; es necesario comprobarlos en la ecuación original y respetar el dominio.

Un sistema queda resuelto al encontrar x.

Hay que encontrar el par completo y comprobar todas las ecuaciones.