Graphiques et fonctions quadratiques

Les bases : points, axes et lecture des valeurs

Un repère cartésien possède deux axes perpendiculaires qui se croisent à l'origine O = (0, 0). L'abscisse x indique le déplacement horizontal et l'ordonnée y le déplacement vertical. Le couple (−2, 3) signifie deux unités vers la gauche et trois vers le haut. L'ordre compte : (3, −2) est un autre point. Chaque axe doit avoir une échelle uniforme et, lorsqu'il représente une grandeur, une unité indiquée.

Une règle y = f(x) attribue à chaque entrée autorisée x une sortie unique y. La notation f(2) demande le résultat lorsque l'entrée est 2 ; elle ne signifie pas f multiplié par 2. Si f(x) = x² − 4x + 3, alors f(2) = 4 − 8 + 3 = −1. Sur le graphe, ce calcul produit le point (2, −1).

Pour lire f(1) sur un dessin, pars de 1 sur l'axe horizontal, cherche le point du graphe de cette abscisse et lis son ordonnée. Pour résoudre f(x) = 1, suis une autre démarche : cherche tous les points du graphe dont la hauteur vaut 1 et lis les abscisses. Une entrée a une sortie, mais une sortie peut correspondre à plusieurs entrées.

Ce qui caractérise une fonction du second degré

Une fonction du second degré a pour expression f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des constantes réelles et a ≠ 0. Si a était nul, le terme du second degré disparaîtrait. Sur tout le domaine réel, son graphe est une parabole. Le terme x² fait que la variation n'est pas constante : augmenter x d'une unité n'augmente pas toujours f(x) de la même quantité.

Commence par la règle la plus simple, f(x) = x². Les entrées −2, −1, 0, 1 et 2 donnent les sorties 4, 1, 0, 1 et 4. Les entrées opposées ont des sorties égales car (−x)² = x². Le tableau suggère la symétrie et cette identité la prouve pour tous les réels, pas seulement pour les cinq points calculés.

Multiplier x² par un a positif conserve l'ouverture vers le haut ; un a négatif produit une symétrie de la courbe et une ouverture vers le bas. Augmenter |a| étire verticalement les valeurs par rapport à la parabole de référence. Le coefficient c vaut f(0), l'ordonnée à l'origine. Le coefficient b influence la position de l'axe, mais n'est à lui seul ni l'abscisse du sommet ni une pente constante.

Trois écritures pour observer la même courbe

La forme développée ax² + bx + c montre les coefficients et f(0). La forme factorisée a(x − r₁)(x − r₂), lorsque des racines réelles existent, révèle les zéros r₁ et r₂. La forme canonique a(x − h)² + k révèle le sommet (h, k) et l'axe x = h. Ce ne sont pas trois fonctions différentes lorsque les expressions se transforment l'une en l'autre par des identités.

Par exemple, x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) = (x − 2)² − 1. Développer chaque produit confirme l'égalité. La première écriture donne f(0) = 3 ; la deuxième montre les zéros 1 et 3 ; la troisième montre le sommet (2, −1). Utiliser la forme adaptée réduit le travail et rend visible la raison de la réponse.

Dans la forme canonique, échanger x = h − t et x = h + t ne modifie pas le carré : les deux donnent at² + k. Cela démontre la symétrie. Comme un carré n'est jamais négatif, pour a > 0, la plus petite valeur est k, obtenue en x = h. Pour a < 0, la plus grande valeur est k. Ces conclusions sont exactes et ne dépendent pas de la qualité du dessin.

Compléter le carré et construire la formule des racines

Pour compléter x² + px, on ajoute et on soustrait (p/2)². La raison est que (x + p/2)² = x² + px + p²/4. Par exemple, x² + 6x + 2 = (x + 3)² − 9 + 2 = (x + 3)² − 7. La compensation −9 conserve l'expression initiale ; ajouter 9 sans le retirer changerait la fonction.

Dans le cas général, mets a en facteur dans les deux premiers termes et complète le carré. Le résultat est :

Pour résoudre l'égalité à zéro, on obtient [x + b/(2a)]² = (b² − 4ac)/(4a²). On définit Δ = b² − 4ac, le discriminant. Si Δ ≥ 0, prendre les deux possibilités de signe et isoler x conduit à x = (−b ± √Δ)/(2a). L'écriture ± représente deux expressions, pas une mystérieuse opération supplémentaire.

Si Δ > 0, il y a deux racines réelles distinctes ; si Δ = 0, une racine réelle double ; si Δ < 0, aucune racine réelle, car un carré réel ne peut être négatif. L'abscisse du sommet vient de l'annulation du carré : h = −b/(2a), et son ordonnée est k = f(h).

Construire et vérifier une esquisse

Pour esquisser une parabole, identifie d'abord le sens d'ouverture, le sommet et l'axe. Calcule l'ordonnée à l'origine et les racines, si elles existent. Utilise ensuite des paires de points symétriques pour vérifier. Un tableau de quelques valeurs n'autorise pas à relier les points par des segments : le graphe du second degré est une courbe lisse, définie par toutes les valeurs du domaine.

Pour f(x) = x² − 4x + 3, le tableau pour x = 0, 1, 2, 3, 4 est 3, 0, −1, 0, 3. La fonction diminue jusqu'à x = 2 et augmente ensuite. Elle est positive pour x < 1 ou x > 3, nulle aux bornes 1 et 3 et négative entre les racines. « Négative » décrit la sortie ; cela ne signifie pas que l'entrée doive être négative.

Une fenêtre graphique trop petite peut masquer une racine ou le sommet. Vérifie toujours le dessin avec l'expression. Le point où la parabole coupe l'axe vertical est (0, c), tandis que les points de l'axe horizontal ont une ordonnée nulle. Une racine est une abscisse ; le point d'intersection correspondant possède deux coordonnées.

Maximums et minimums avec des contraintes réelles

Un modèle du second degré nécessite des variables et des conditions. Si un rectangle a un périmètre de 24 m et qu'un côté mesure x mètres, l'autre mesure 12 − x. L'aire, en m², est A(x) = x(12 − x) = −x² + 12x = −(x − 6)² + 36. Comme les côtés doivent être positifs, le domaine géométrique est 0 < x < 12.

Le carré montre A(x) ≤ 36, avec égalité en x = 6. Le rectangle de plus grande aire est donc un carré de côté 6 m. Il n'est pas nécessaire de tester une infinité de rectangles : l'identité et la non-négativité du carré justifient le maximum. Une valeur comme x = 15 est autorisée dans l'expression algébrique, mais ne représente pas ce rectangle.

Si le domaine est limité à un intervalle ne contenant pas l'abscisse du sommet, l'extremum du problème peut se produire à une frontière. L'interprétation finale doit indiquer la grandeur recherchée : 6 m est une longueur de côté, tandis que 36 m² est une aire. Le graphe aide à réfléchir et l'algèbre étaye la conclusion.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

La racine est le point complet du graphe.

La racine est l'entrée x donnant une sortie nulle ; le point correspondant est (x, 0).

Le coefficient b est la pente de la parabole.

Une parabole n'a pas de pente constante ; b contribue à la position de l'axe.

Compléter le carré permet d'ajouter une constante sans compensation.

Il faut ajouter et soustraire la même constante pour conserver l'expression.

Le sommet est toujours la solution d'un problème appliqué.

Il faut vérifier s'il appartient au domaine admissible et quelle grandeur est recherchée.