Волны и оптика

Что ты поймёшь

Связывать скорость, частоту и длину волны.
Применять отражение, закон Снеллиуса и полное внутреннее отражение с верными углами.
Анализировать тонкие линзы и интерференцию с учётом допущений и знаков.

Перед началом

Не нужно помнить всё наизусть. Объяснение возвращается к нужным идеям и показывает их связи. Если какая-то основа ещё неясна, можно вернуться к этим урокам:

Повторение волны и выбор описания

Периодическая волна имеет частоту f, период T=1/f и длину λ. Скорость распространения v=λf. Частота считает колебания за секунду в герцах; λ — расстояние между точками в фазе, в метрах. Скорость распространения не равна скорости частицы среды. В вакууме свет распространяется при c, приблизительно 3,00×10⁸ m/s.

Лучи представляют местное направление распространения энергии в геометрическом приближении. Они полезны для зеркал и линз, когда отверстия и расстояния позволяют пренебречь дифракцией. Это не материальные нити и не описание всей структуры поля. При проходе отверстия порядка λ распространение расширяется, и отдельные прямые траектории могут не подойти. Нельзя использовать модель вне масштаба, обосновывающего её приближения.

Отражение и преломление

При зеркальном отражении на гладкой поверхности падающий луч, нормаль и отражённый луч лежат в одной плоскости; углы падения и отражения от нормали равны. Шероховатая поверхность может распределять отражённые направления, хотя каждый малый участок соблюдает местное соотношение. Нормаль — перпендикуляр к поверхности в точке встречи.

При преломлении скорость меняется между средами. Показатель n=c/v в рассматриваемой модели. Закон Снеллиуса n₁ sinθ₁=n₂ sinθ₂. При n₂>n₁ преломлённый луч приближается к нормали. При пересечении неподвижной границы частота определяется источником и сохраняется; меняется длина λ=v/f. Поэтому меньшая скорость во второй среде означает меньшую λ, но не обязательно частоту. Показатели могут зависеть от частоты, объясняя дисперсию.

Полное внутреннее отражение: два условия

Для полного внутреннего отражения свет должен идти из среды с большим показателем в меньший: n₁>n₂. При росте θ₁ преломлённый угол достигает 90°. На пределе Снеллиус даёт sinθc=n₂/n₁. θc — критический угол. При падении выше θc распространяющегося преломлённого луча во второй среде нет в идеальной геометрической модели.

Недостаточно сказать, что угол велик: нужно проверить порядок показателей и сравнить с θc. При переходе из воздуха в обычное стекло n₂/n₁ больше 1 и такого действительного критического угла нет. Оптоволокно использует структуру показателей для направления света внутренним отражением. Полное объяснение полей у границы волновое; лучевое — полезное приближение для знакомства с механизмом.

Тонкие линзы и соглашение о знаках

Собирающая линза концентрирует примерно параллельные оси лучи в фокусе; рассеивающая раздвигает их так, словно они исходят из фокуса. Уравнение тонкой линзы 1/f=1/dₒ+1/dᵢ в параксиальном приближении: малая толщина линзы и малые углы лучей с осью. Это не точное описание любой реальной линзы или больших отверстий.

Примем f>0 для собирающей, f<0 для рассеивающей линзы; dₒ>0 для действительного предмета на входе; dᵢ>0 для действительного изображения на выходе, dᵢ<0 для мнимого на стороне предмета. Поперечное увеличение m=hᵢ/hₒ=−dᵢ/dₒ. Отрицательное m означает переворот, |m| — отношение размеров. Действительное изображение можно получить на экране в его положении; мнимое находится продолжением лучей.

Лучи и уравнения должны согласовываться

У собирающей линзы параллельный оси луч выходит к фокусу другой стороны; луч около оптического центра считается неотклонённым в модели тонкой линзы. Их пересечение позволяет найти изображение. Если на выходе пересечения нет, продолжи назад для мнимого изображения. Рисунок помогает понять знак уравнения.

Когда предмет между фокусом и собирающей линзой, изображение мнимое, прямое и увеличенное. В фокусе выходящие лучи параллельны и конечного расстояния изображения в модели нет. За фокусом изображение действительное и перевёрнутое. Это не правила для заучивания без геометрии: они следуют из изменения встречи лучей. При расчёте используй все расстояния в одной единице и переведи конечный знак в положение.

Суперпозиция, интерференция и дифракция

В линейном волновом описании возмущения накладываются. Две когерентные волны одной частоты со стабильной относительной фазой могут усиливаться или местно погашаться. Для двух щелей, освещённых в фазе монохроматическим светом, максимумы d sinθ=mλ, минимумы d sinθ=(m+1/2)λ при целом m и расстоянии щелей d. Результат определяет разность путей, а не только общий путь.

На далёком экране L≫d при малых углах промежуток соседних максимумов приблизительно Δy=λL/d. Дифракция каждой щели влияет на общую интенсивность узора; реальные две щели не дают одинаково яркие максимумы. Деструктивная интерференция в точке не уничтожает энергию глобально: меняется пространственное распределение с усилением в других местах. Необходимость волны в явлении не отменяет лучей на другом масштабе; нужно выбрать описание под вопрос.

Решённые примеры без пропуска шагов

Сначала проследи рассуждение. Затем закрой решение и попробуй восстановить его своими словами.

Пример 1

Преломление с сохранением частоты

Свет 600 nm в воздухе входит в стекло n=1,50 под углом падения 30°. Считай n воздуха равным 1. Найди угол и длину волны в стекле.

Снеллиус даёт sinθ₂=(1/1,50)sin30°=1/3. Поэтому θ₂≈19,47°.
Частота в воздухе приблизительно c/λ=3,00×10⁸/(600×10⁻⁹)=5,00×10¹⁴ Hz.
В стекле v=c/1,50 и λ₂=λ₁/1,50=400 nm при той же f.

Результат

Угол преломления 19,47°, длина волны 400 nm.

Проверить результат

Луч приближается к нормали, входя в больший показатель. Частота на неподвижной границе не меняется.

Пример 2

Действительное изображение

Предмет 3 cm находится в 30 cm от собирающей линзы f=10 cm. Найди и охарактеризуй изображение.

1/dᵢ=1/10−1/30=1/15, значит dᵢ=15 cm.
Увеличение m=−15/30=−0,5.
Знаковая высота hᵢ=−0,5·3=−1,5 cm. Минус означает переворот.

Результат

Изображение действительное, на 15 cm на выходе, перевёрнутое, размером 1,5 cm.

Проверить результат

1/10=1/30+1/15 подтверждает уравнение. Поскольку предмет за 2f, уменьшенное изображение между f и 2f.

Пример 3

Расстояние между полосами

Две щели на расстоянии 0,30 mm получают свет λ=600 nm. Экран в 2,0 m. Оцени расстояние соседних максимумов.

Переведи d=3,0×10⁻⁴ m и λ=6,0×10⁻⁷ m.
Используй Δy≈λL/d=(6,0×10⁻⁷·2,0)/(3,0×10⁻⁴).
Результат 4,0×10⁻³ m. Отношение λ/d=0,002 мало и согласуется с малым угловым приближением около центра.

Результат

Расстояние приблизительно 4,0 mm.

Проверить результат

Удвоение расстояния до экрана удвоило бы промежуток; удвоение расстояния щелей уменьшило бы его вдвое.

Теперь попробуй сам

Секундомера нет. Запиши известное, выбери соотношение и обоснуй каждый шаг. Подсказки и решения доступны, когда понадобятся.