Поля и электромагнитная индукция

Что ты поймёшь

Различать электрическое поле, силу, потенциал и потенциальную энергию.
Понимать магнитную силу на движущиеся заряды.
Вычислять поток и индукцию с согласованными углом и направлением.

Перед началом

Не нужно помнить всё наизусть. Объяснение возвращается к нужным идеям и показывает их связи. Если какая-то основа ещё неясна, можно вернуться к этим урокам:

Повторение векторов и электрического взаимодействия

Вектор имеет модуль и направление. Сложение полей требует сложения составляющих, а не только модулей. Электрический заряд q может быть положительным или отрицательным, измеряется в кулонах и определяет отклик тела на электрическое поле. Поле E в точке определяется силой на единицу положительного пробного заряда, достаточно малого, чтобы существенно не менять конфигурацию.

Векторное соотношение F=qE. При q>0 сила направлена по полю; при q<0 противоположно. Единицу N/C можно записать V/m. Поле существует как описание конфигурации, даже если в точку не помещён пробный заряд. Линии поля — изображения: касательная показывает направление, густота линий — интенсивность, но линии не физические нити, удерживающие частицы.

Поле зарядов и суперпозиция

Точечный заряд Q создаёт в вакууме радиальное поле модулем E=k|Q|/r² при r>0. Постоянная k примерно 8,99×10⁹ N·m²/C². Поле направлено наружу для положительного Q и к заряду для отрицательного. Точечная модель подходит при малом размере распределения относительно расстояния или соответствующей симметрии.

Для нескольких зарядов полное поле — векторная сумма отдельных. Между одинаковыми положительными зарядами поля могут противодействовать и погашаться в середине; силы на пробный заряд там тоже погашаются. Однако потенциал и поле различны: потенциалы источников складываются алгебраически и могут быть ненулевыми при нулевом полном поле. Различие ясно при разделении скаляра и вектора.

Потенциал не равен силе

Разность потенциалов ΔV двух точек измеряет изменение электрической потенциальной энергии на единицу заряда: ΔU=qΔV. Потенциал скалярен и зависит от аддитивного уровня отсчёта; в энергетический баланс входят разности. В электростатическом поле работа электрической силы W=−ΔU=−qΔV. Положительный заряд, ускоряемый только полем, обычно получает кинетическую энергию при переходе к меньшему потенциалу.

В однородном поле вдоль перемещения Δr разность ΔV=−E·Δr. Для перемещения модулем d под углом θ к полю ΔV=−Ed cos θ. Перпендикулярно полю разность нулевая. Для отрицательного заряда энергетическая связь сохраняет знак q: нельзя говорить, что все заряды самопроизвольно идут к меньшему потенциалу. Поле направлено туда, где потенциал убывает быстрее всего, а не к обязательному абсолютному значению.

Что делает магнитное поле

Заряд со скоростью v в магнитном поле B испытывает силу модулем |q|vB sin θ, где θ — угол скорости с полем. Сила перпендикулярна обоим; направление задаётся правилом правой руки для положительного заряда и обращается для отрицательного. Если заряд покоится или движется параллельно полю, магнитная сила нулевая.

Магнитная сила перпендикулярна скорости и потому не совершает работу над зарядом в модели частицы. Она меняет направление без изменения модуля скорости. При v, перпендикулярной однородному полю, траектория может быть круговой: из |q|vB = mv²/r получаем r=mv/(|q|B) в нерелятивистском режиме при пренебрежении другими силами. Электрическое поле, напротив, может совершать работу. Это не позволяет считать поля просто вариантами одной силы.

Поток: поле и ориентация поверхности

Магнитный поток однородного поля через плоскую поверхность Φ=BA cos θ. Площадь A в m², B в теслах, поток в веберах. θ измеряется между B и нормалью, а не B и плоскостью. При перпендикулярном пересечении плоскости θ=0 и модуль потока максимален; при параллельности плоскости θ=90° и поток нулевой.

Выбранная нормаль фиксирует знак потока. Её обращение меняет знак без изменения физической ситуации. Для неоднородных полей и кривых поверхностей представь сумму малых B·ΔA с учётом местной ориентации. Поток может меняться из-за изменения B, площади или поворота поверхности. Это не количество материальных линий через цепь, а математическая мера распределения и ориентации поля.

Фарадей и Ленц: изменение, создающее индукцию

Для N витков с одинаковым потоком через каждый средняя ЭДС индукции ε=−NΔΦ/Δt. Мгновенно ε=−N dΦ/dt. ЭДС измеряется в вольтах и представляет циркуляцию индуцированного электрического поля вдоль цепи. Она возможна в разомкнутой цепи; ток возникает только при замкнутом пути и допускающем его отклике компонентов.

Минус выражает закон Ленца: индуцированный отклик противодействует вызывающему его изменению потока. Если поток внутрь страницы растёт, индуцированный ток стремится создать поле наружу; если этот поток уменьшается — усилить его внутрь. Противодействие изменению не означает постоянного противодействия исходному полю. Энергия, передаваемая цепи, поступает от внешнего источника, который меняет поле или перемещает систему. Индукция не создаёт энергию без источника; механическое усилие генератора входит в баланс.

Решённые примеры без пропуска шагов

Сначала проследи рассуждение. Затем закрой решение и попробуй восстановить его своими словами.

Пример 1

Поле и сила со знаком

Заряд q=−3 μC в однородном поле E=200 N/C вправо. Какова сила?

Переведи q=−3×10⁻⁶ C и выбери вправо положительное направление.
F=qE=(−3×10⁻⁶)·200=−6×10⁻⁴ N.
Знак означает силу влево, противоположно полю из-за отрицательного заряда.

Результат

Модуль 6×10⁻⁴ N влево.

Проверить результат

Единицы C·N/C дают N. Смена знака заряда обратила бы направление без изменения модуля.

Пример 2

Потенциал и энергия

Положительный заряд 2 μC переходит от 120 V к 30 V в электростатическом поле. Вычисли ΔU и электрическую работу.

ΔV=30−120=−90 V, конечное минус начальное.
ΔU=qΔV=2×10⁻⁶·(−90)=−1,8×10⁻⁴ J.
Работа электрической силы −ΔU=+1,8×10⁻⁴ J. Без других передач это полученная кинетическая энергия.

Результат

Потенциальная энергия уменьшается на 1,8×10⁻⁴ J, поле совершает положительную работу.

Проверить результат

Разность в вольтах превращается в энергию только при умножении на заряд; потенциал и энергия не взаимозаменяемы.

Пример 3

Катушка с переменным потоком

Катушка из 100 витков площадью 0,020 m² имеет нормаль параллельно B. Поле растёт с 0,10 до 0,40 T за 0,50 s. Вычисли модуль средней ЭДС.

Поскольку θ=0, cos θ=1. Изменение потока через виток AΔB=0,020·0,30=0,0060 Wb.
Модуль NΔΦ/Δt=100·0,0060/0,50=1,2 V.
Полярность должна создавать в замкнутой цепи ток с полем против роста выбранного потока.

Результат

|средняя ε|=1,2 V.

Проверить результат

Если бы нормаль составляла 60° с полем в течение всего изменения, результат был бы умножен на cos60°=1/2.

Теперь попробуй сам

Секундомера нет. Запиши известное, выбери соотношение и обоснуй каждый шаг. Подсказки и решения доступны, когда понадобятся.