Геометрия, тригонометрия и функции

Повторить три языка

Точку можно задать координатами, расстояние — отрезком, геометрическое условие — уравнением. Аналитическая геометрия делает описания сравнимыми. Для A=(a,b) и B=(c,d) горизонтальная и вертикальная разности образуют катеты прямоугольного треугольника. Пифагор даёт AB=√[(c−a)²+(d−b)²]. Результат — неотрицательное расстояние с той же единицей, что координаты.

Функция добавляет соответствие: каждый допустимый аргумент имеет единственное значение. Полная окружность не является графиком единственной y=f(x), поскольку многим абсциссам соответствуют две ординаты. Но её можно разделить на ветви или описать параметром. Подходящее представление избегает применения правил функций к отношениям, не являющимся функциями в данном формате.

Уравнения геометрических мест

Точки на расстоянии r>0 от C=(h,k) удовлетворяют (x−h)²+(y−k)²=r². Это непосредственно следует из формулы расстояния, возведённой в квадрат при неотрицательных частях. Центр (h,k), а не (−h,−k). Выделение квадратов позволяет распознать ту же форму в развёрнутом выражении.

Например, x²+y²−6x+4y−12=0 превращается в (x−3)²+(y+2)²=25. Мы прибавили 9 и 4 для выделения квадратов и компенсировали изменение другой части. Значит, центр (3,−2), радиус 5. При отрицательной правой части действительных точек нет; при нулевой — единственная точка. Алгебра должна дать согласованное толкование, а не просто знакомое выражение.

Окружность объясняет тождества

На окружности радиуса r точку угла θ записывают x=r cos θ и y=r sin θ. Подстановка в x²+y²=r² и деление на r² дают cos²θ+sin²θ=1. Основное тождество — Пифагор в угловой форме. Знаки синуса и косинуса следуют из координат: во второй четверти x<0 и y>0, значит косинус отрицателен, синус положителен.

Радиан измеряет дугу, делённую на радиус: θ=s/r. Оборот равен 2π rad. Радианы необходимы в формулах производных вроде (sin x)′=cos x, поскольку угловой масштаб входит в скорость. Тангенс sin θ/cos θ определён только при cos θ≠0. Деление уравнения на cos θ без проверки нулей может удалить законные решения или ввести бессмысленные выражения.

Параметризация кругового движения

Параметром t окружность описывают x(t)=h+r cos(ωt+φ) и y(t)=k+r sin(ωt+φ). Здесь r — радиус, ω — угловая скорость, φ — начальная фаза. Если t — секунды, единица ω — rad/s; фаза и аргумент угловые. При ω≠0 период T=2π/|ω|. Знак ω определяет направление обхода.

Вертикальная проекция — синусоида амплитуды r со средней линией k. Видящий только y(t) теряет горизонтальную координату, но сохраняет периодичность. Производные x′=−rω sin(ωt+φ) и y′=rω cos(ωt+φ). Модуль скорости r|ω|, поскольку sin²+cos²=1. Геометрия, тригонометрия и производные подтверждают одно описание без смешения круговой траектории и синусоидального графика.

Пересечения и посторонние решения

Для пересечения прямой и окружности реши систему их уравнений. Подстановка y=mx+b в окружность обычно даёт квадратное уравнение относительно x. Положительный дискриминант означает два разных пересечения, нулевой — касание, отрицательный — отсутствие действительных пересечений. Каждому корню x нужна соответствующая y.

Возведение в квадрат требует осторожности с равносильностью. Решение √(x+2)=x начинается с x≥0, поскольку слева неотрицательно. Квадрат даёт x+2=x² с корнями 2 и −1; второй не подходит исходному уравнению. Преобразования могут расширить кандидатов. Возврат к исходному условию обязателен, особенно с корнями, знаменателями и обратными функциями ограниченной области. График полезен для проверки, но не заменяет анализа области.

Построить модель и задать ей вопросы

Для периодической высоты H(t)=c+A sin(ωt+φ) разделяет четыре решения: c — средняя линия, |A| — амплитуда, 2π/|ω| — период, φ задаёт начальное положение. Максимум и минимум c+|A| и c−|A|. Одного начального условия может не хватить для всех параметров: нужно направление изменения или другой момент.

Синтез заканчивается вопросами согласованности. Позволяют ли единицы складывать члены? Входит ли аргумент в область? Соответствует ли результат геометрии? Сколько ожидается решений? Отрицательное расстояние обнаруживает ошибку; две позиции одной высоты вполне естественны. Вместо коллекции отдельных формул определи объект, выбери координаты или параметр, реши и переведи результат в исходную ситуацию. Связи помогают открывать и исправлять.

Решённые примеры без пропуска шагов

Сначала проследи рассуждение. Затем закрой решение и попробуй восстановить его своими словами.

Теперь попробуй сам

Секундомера нет. Запиши известное, выбери соотношение и обоснуй каждый шаг. Подсказки и решения доступны, когда понадобятся.

Ошибки, которых стоит избегать

Полная окружность всегда является y=f(x).

Для всех позиций могут потребоваться две ветви или параметризация.

Возведение в квадрат всегда точно сохраняет решения.

Оно может добавить кандидатов; проверь всех в исходном отношении.

Фаза не влияет на начальное условие.

Фаза сдвигает колебание и определяет положение в начальный момент.