Введение в современную физику

Что ты поймёшь

Распознавать области, где классические модели нужно расширить.
Связывать энергию и частоту фотона и понимать фотоэффект.
Связывать атомные уровни и спектры с разностями энергии.
Различать электронные и ядерные явления и понимать полураспад как статистический закон.
Понимать энергию покоя и связь массы, энергии и скорости в специальной относительности.

Перед началом

Не нужно помнить всё наизусть. Объяснение возвращается к нужным идеям и показывает их связи. Если какая-то основа ещё неясна, можно вернуться к этим урокам:

Модель может работать отлично и всё же иметь границы

Законы Ньютона позволяют изучать движение предметов во многих повседневных ситуациях. Волновая оптика объясняет интерференцию и дифракцию. Успех моделей не означает, что каждая описывает все атомные явления или скорости около световой. Модель оценивается по предсказаниям и условиям согласия с опытом.

Когда опыт обнаруживает закономерность, несовместимую с моделью, нужно пересмотреть допущения. Это не делает все её результаты ошибками. Классическая механика остаётся отличным приближением многих макроскопических движений со скоростью намного меньше c. Более широкая теория должна объяснить, почему приближение работает в своей области.

В уроке построим первую связь трёх областей: квантовой, атомной и ядерной физики и специальной относительности. Это не набор загадочных названий: они отвечают на конкретные вопросы. Почему металлы испускают электроны только выше частотного порога? Почему атомы дают спектральные линии? Почему энергия частицы с массой не равна mv²/2 при приближении v к c?

Повторение энергии, частоты и микроскопических масштабов

Энергия измеряется в джоулях J. Для атомных процессов джоуль очень велик относительно участвующих энергий. Часто используют электронвольт, eV: энергию, соответствующую прохождению модуля элементарного заряда через разность потенциалов один вольт. Перевод приблизительно 1 eV = 1,602 × 10⁻¹⁹ J. eV — энергия, а не напряжение.

Частота f волны — циклы за секунду в Hz. В вакууме электромагнитное излучение подчиняется c = λf, где λ — длина волны, c ≈ 3,00 × 10⁸ m/s. Чем меньше λ, тем больше f. Не смешивай частоту с интенсивностью: можно увеличить общую энергию пучка без изменения частоты, увеличив излучение через площадь за время.

В расчётах используем постоянную Планка h ≈ 6,626 × 10⁻³⁴ J·s. Очень малое значение постоянной в СИ помогает понять выраженность квантовых эффектов на микромасштабах. Степени десяти требуют внимания: 1 nm = 10⁻⁹ m и 1 μm = 10⁻⁶ m.

Что означает квантование излучения

Электромагнитное излучение обменивается энергией с веществом квантами, называемыми фотонами. Энергия фотона частоты f равна E = hf или E = hc/λ в вакууме. Связь соединяет частотное описание с энергией отдельного взаимодействия. Произведение J·s × s⁻¹ имеет единицу джоуля.

Фотон большей частоты имеет больше энергии. Увеличение лишь интенсивности пучка фиксированной частоты означает в модели большее среднее число фотонов за время и площадь. Энергия каждого hf не растёт. Если пучок несёт общую энергию E_пучка фотонами одной частоты, приблизительное число E_пучка/(hf).

Это не отменяет волнового описания: интерференция и дифракция наблюдаются. Квантовая физика предсказывает и статистический узор многих событий, и локальное обнаружение каждого. Классические образы «распределённой материальной волны» и «шарика» — ограниченные аналогии. Квантовый формализм не требует, чтобы частица буквально была малой сферой, колеблющейся как шнур.

Фотоэффект: понимание порога

Освещение подходящей поверхности может испускать электроны. В простой модели фотоэффекта один фотон на электрон часть полученной энергии освобождает электрон из материала. Эта минимальная энергия — работа выхода φ, зависящая от поверхности. Сохранение энергии приводит к K_макс = hf − φ, если hf достаточно для эмиссии.

Пороговая частота f₀ = φ/h. Ниже неё hf − φ отрицательно: это не электрон с отрицательной кинетической энергией. Это запрет эмиссии в модели. Выше порога увеличение частоты увеличивает максимальную кинетическую энергию; рост интенсивности при фиксированной частоте может увеличивать число испущенных электронов с учётом условий поверхности и прибора.

В опыте с задерживающим потенциалом модуль U_{торможения} для остановки наиболее энергичных электронов удовлетворяет eU_{торможения} = K_макс. Не у всех испущенных электронов максимальная энергия, поэтому связь описывает край распределения. Введение предполагает подходящие излучение и режим; многофотонные явления и другие детали требуют полных моделей.

Вещество с длиной волны и вероятностные предсказания

Дифракция не исключительна для света. Электроны и другие материальные частицы тоже дают интерференционные узоры. Связь де Бройля соединяет длину волны и импульс: λ = h/p. Для частицы массы m со скоростью достаточно малой относительно c можно p ≈ mv; при больших скоростях импульсу нужна релятивистская поправка.

Макроскопическая частица с большим импульсом в СИ имеет чрезвычайно малую длину волны. Это объясняет, почему обычно не видно дифракции мяча в дверном проёме. У электрона длина может быть сравнима с расстоянием атомов кристалла, давая наблюдаемые эффекты. Сравнение масштабов так же важно, как формула.

Квантовое состояние позволяет рассчитывать вероятности результатов измерений. Это не просто недостаточная аккуратность опыта: одинаково подготовленные эксперименты дают предсказываемые теорией распределения. Принцип неопределённости координаты и импульса ΔxΔp ≥ h/(4π), где Δx и Δp — соответствующие статистические разбросы. Он не утверждает, что «ничего нельзя знать», и не просто поломка прибора; ограничивает одновременную подготовку распределений.

Энергетические уровни и спектральные линии

Атом содержит ядро и электроны. Электрическое притяжение важно для строения, но классические планетарные орбиты электронов недостаточно описывают все явления. В квантовом подходе разрешённые электронные состояния имеют характерные энергии и пространственные распределения; орбиталь — не жёсткая дорожка наблюдаемого движения электрона.

При переходе из состояния большей энергии E_i в меньшее E_fатом может испустить фотон с hf = E_i − E_f. При поглощении разность может предоставляться излучением. Поскольку энергии связанных состояний не образуют произвольный континуум, наблюдаются линии определённых разностей. Есть также правила отбора и детали: равенство энергий — важное условие, а не полное описание всех вероятностей переходов.

Для уровней водорода во вводной модели E_n ≈ −13,6 eV/n² при положительном целом n и нуле на пороге ионизации. Минус означает связанное состояние. n = 1 ниже n = 2. Формула хорошо предсказывает базовую структуру одноэлектронного атома, но её нельзя без изменений применять ко всем атомам. Современная квантовая теория объясняет и то, чего модель Бора не описывает.

Энергия фотона — положительная разность уровней, а не отрицательное значение отдельного уровня.

Ядро и виды радиоактивных превращений

Ядро содержит протоны и, в обычных изотопах кроме простейшего водорода, нейтроны. Число протонов Z определяет элемент. Массовое число A считает протоны и нейтроны; это не масса в килограммах. Изотопы одного элемента имеют одинаковое Z и разное число нейтронов. Электронные переходы и ядерные превращения относятся к разным масштабам и механизмам.

Некоторые ядра неустойчивы и самопроизвольно превращаются. При альфа-излучении ядро испускает частицу из двух протонов и двух нейтронов: у остаточного Z меньше на 2, A на 4. При бета-минус распаде нейтрон превращается в протон с испусканием электрона и антинейтрино: Z растёт на 1, A неизменно. Бета-электрон — не просто ранее вращавшийся вокруг ядра и вырванный электрон. При гамма-излучении ядро переходит к меньшей энергии, испуская фотон без изменения Z и A.

В реакциях сохраняются соответствующие величины полной системы, включая энергию, импульс и заряд. Ионизация — удаление или добавление электронов атому; это не изменение ядра. Ионизирующее излучение может вызвать ионизацию, но активность, энергия события и эффект в материале — разные величины. Урок рассматривает модели без указаний опытов с радиоактивными источниками.

Статистический закон — не часы каждого ядра

Для большой популяции ядер данного радионуклида в модели экспоненциального распада ожидаемое непревратившееся число N(t) = N₀e^−λt. Постоянная распада λ положительна с единицей обратного времени. Минус описывает уменьшение исходной популяции. Превратившиеся ядра не исчезли как вещество: возникли продукты распада.

Период полураспада T_1/2 удовлетворяет N(T_1/2) = N₀/2. Из экспоненты λ = ln 2/T_1/2 и N(t) = N₀(1/2)^t/T₁/₂. Через два полураспада в среднем остаётся четверть, не ноль. Закон не выбирает, какое ядро превратится первым. Для малых популяций относительные флуктуации важны.

Активность A = λN измеряет ожидаемые превращения за секунду при λ в s⁻¹; единица беккерель Bq. Не смешивай её с выделенной энергией за секунду, зависящей также от энергии события и продуктов. В цепях распада продукты могут быть неустойчивы; одной экспоненты может не хватать для всей измеренной активности. Всегда указывай моделируемые популяцию и процесс.

Системы отсчёта, скорость света и энергия покоя

Специальная относительность исходит из эквивалентности физических законов в инерциальных системах и неизменности скорости света в вакууме c для таких наблюдателей. Инерциальная система — та, где тело без равнодействующей движется равномерно прямолинейно. Теория описывает измерения пространства и времени между наблюдателями; не утверждает относительность любых утверждений или произвольность значений.

Сравнение часов и длин включает определение событий и одновременности в каждой системе. Следствие — множитель γ = 1/√(1 − v²/c²). Для свободной частицы с массой покоя m полная энергия E = γmc², покоя E₀ = mc², кинетическая K = (γ − 1)mc². При v намного меньше c приближение восстанавливает K ≈ mv²/2.

При приближении v к c γ неограниченно растёт; частицу с массой нельзя разогнать до c конечным подводом энергии. Фотон имеет нулевую массу покоя и E = pc: нельзя подставить m = 0 в γmc² при v = c, поскольку γ там не конечна. У формул есть область применимости, как в алгебре.

Что меняется в выделяющей энергию реакции

Масса покоя системы связана с её энергией в системе отсчёта с нулевым полным импульсом. Если система отдаёт энергию наружу, масса оставшейся системы может уменьшиться. В ядерной физике разность полных масс покоя реагентов и продуктов может соответствовать кинетической энергии и излучению: Q реакции = (начальная m − конечная m)c² с верным учётом всех значимых частиц.

Неверно говорить лишь «масса исчезает», забыв вышедшую энергию. Баланс полной системы сохраняет энергию и импульс. Также нельзя произвольно превратить всю массу предмета в полезную энергию устройства: большое mc² не описывает доступный механизм или КПД.

Идеи связывают изученные темы. Фотон переносит энергию и импульс; ядро может испустить фотон и получить отдачу; переход соблюдает баланс системы. Понимание принципов готовит к последующим квантовым и релятивистским уравнениям. Здесь нужна концептуальная основа и вводные расчёты, а не полная теория на нескольких страницах.

Решённые примеры без пропуска шагов

Сначала проследи рассуждение. Затем закрой решение и попробуй восстановить его своими словами.

Пример 1

От длины волны к порогу эмиссии

Свет 600 nm в вакууме падает на идеализированную поверхность с работой выхода 1,50 eV. Найди возможность эмиссии в модели фотон на электрон и максимальную кинетическую энергию.

Переводим λ = 600 × 10⁻⁹ m и вычисляем E = hc/λ = (6,626 × 10⁻³⁴ × 3,00 × 10⁸)/(600 × 10⁻⁹) = 3,313 × 10⁻¹⁹ J.
В eV E ≈ 3,313/1,602 = 2,068 eV. Поскольку 2,068 eV больше 1,50 eV, модель разрешает эмиссию.
Максимальная K = 2,068 − 1,50 = 0,568 eV. Модуль задерживающего потенциала примерно 0,568 V.

Результат

Эмиссия возможна; максимальная K ≈ 0,57 eV.

Проверить результат

Максимальная энергия положительна и меньше энергии фотона. Отрицательный результат означал бы отсутствие эмиссии в модели, а не физическую отрицательную кинетическую энергию.

Пример 2

Переход водорода

В модели Eₙ = −13,6 eV/n² вычисли энергию фотона перехода n = 3 к n = 2.

E₃ = −13,6/9 ≈ −1,511 eV и E₂ = −13,6/4 = −3,40 eV. Уровень 2 ниже по энергии.
Испущенная энергия E₃ − E₂ ≈ 1,889 eV положительна. Модули двух уровней не складываются.
Переводя в джоули и используя λ = hc/E, получаем примерно 6,57 × 10⁻⁷ m, или 657 nm с использованными округлёнными постоянными.

Результат

Энергия фотона ≈ 1,89 eV; длина волны приблизительно 657 nm.

Проверить результат

Округление и упрощение модели объясняют малые отличия от точных спектроскопических значений. Обратный переход потребовал бы поглощения при соответствующих условиях.

Пример 3

Три полураспада не устраняют популяцию

Образец изначально содержит 1,6 × 10⁹ ядер радионуклида с полураспадом 20 h. Вычисли ожидаемую популяцию через 60 h и соответствующую активность.

Прошло 60/20 = 3 полураспада. N = 1,6 × 10⁹/2³ = 2,0 × 10⁸ ожидаемых ядер.
Переводим полураспад в секунды: 20 × 3600 = 72000 s. λ = ln 2/72000 ≈ 9,63 × 10⁻⁶ s⁻¹.
A = λN ≈ 9,63 × 10⁻⁶ × 2,0 × 10⁸ ≈ 1925 Bq. Учитываем только популяцию этого радионуклида.

Результат

Ожидаемое N = 2,0 × 10⁸; активность ≈ 1,93 × 10³ Bq.

Проверить результат

Остаётся восьмая часть исходной популяции, и активность этого радионуклида тоже восьмая исходной. Предсказание статистическое.

Пример 4

Материальная длина волны

Электрон движется при 2,0 × 10⁶ m/s. Используй m ≈ 9,11 × 10⁻³¹ kg и оцени длину волны де Бройля.

v/c приблизительно 0,0067, поэтому p ≈ mv подходит для оценки.
p ≈ 9,11 × 10⁻³¹ × 2,0 × 10⁶ = 1,822 × 10⁻²⁴ kg·m/s.
λ = h/p ≈ 6,626 × 10⁻³⁴ / 1,822 × 10⁻²⁴ = 3,64 × 10⁻¹⁰ m.

Результат

λ ≈ 0,364 nm.

Проверить результат

J·s, делённые на kg·m/s, дают метр. Масштаб допускает дифракцию атомных структур; это не диаметр электрона.

Пример 5

Кинетическая энергия при большой скорости

Частица имеет энергию покоя E₀ = 10 MeV и скорость 0,60c. Найди полную и кинетическую энергии.

γ = 1/√(1 − 0,60²) = 1/√0,64 = 1,25. Множитель безразмерен.
E = γE₀ = 1,25 × 10 = 12,5 MeV.
K = E − E₀ = 2,5 MeV. Нельзя отождествлять полную и кинетическую энергии.

Результат

E = 12,5 MeV и K = 2,5 MeV.

Проверить результат

При нулевой скорости γ была бы 1, E — 10 MeV, K — ноль. Предел проверяет смысл энергии покоя.

Теперь попробуй сам

Секундомера нет. Запиши известное, выбери соотношение и обоснуй каждый шаг. Подсказки и решения доступны, когда понадобятся.