Показательные функции и логарифмы

Повторение: показатели, корни и проценты

Для положительного целого n величина aⁿ — произведение n одинаковых множителей. При a ≠ 0 определяем a⁰ = 1 и a⁻ⁿ = 1/aⁿ для сохранения законов степеней. При a > 0 рациональные показатели также выражаются через корни: a^1/2 = √a и a^2/3 = (∛a)². Положительное основание позволяет распространить степень на все действительные показатели.

Правила a^x+y = aˣaʸ и (aˣ)ʸ = a^xy выражают мультипликативную структуру. Они не разрешают aˣ + aʸ = a^x+y. Например, 3² + 3³ = 36, тогда как 3⁵ = 243. Всегда определяй, что выполняется между степенями: сумма, произведение или деление.

Темпу роста p в десятичной форме соответствует множитель 1 + p. Увеличение на 8% использует 1,08; уменьшение на 8% — 0,92. При начальном значении Q₀ и множителе q за период после n периодов Qₙ = Q₀qⁿ. Показатель считает полные периоды от начального момента n = 0, а не позицию списка с начала 1.

Переменная в показателе

Основная показательная функция f(x) = aˣ при a > 0 и a ≠ 1 определена для любого действительного x. При a > 1 она строго возрастает; при 0 < a < 1 строго убывает. Значения всегда положительны, множество значений ]0, +∞[ и f(0) = 1. Горизонтальная ось — асимптота: функция может приближаться к нулю, не достигая его.

Выражение x³ — степенная, а не показательная функция: переменная в основании. (−2)ˣ не задаёт действительную функцию для всех x, поскольку, например, x = 1/2 требует квадратного корня из отрицательного числа. Основание 1 дало бы постоянную функцию 1 без обратного логарифма, различающего показатели.

Модель Q(t) = Q₀aᵗ при Q₀ > 0 умножает значение на a при каждом увеличении t на единицу. Если время в часах, показатель следует понимать как число часовых периодов. Более явная размерностная форма Q(t) = Q₀a^t/τ, где τ — длительность периода в той же единице, что t.

Обратный вопрос: каков показатель?

Для a > 0, a ≠ 1 и y > 0 определяют log_a y как единственное число x, для которого aˣ = y. Единственность следует из монотонности показательной функции: одно положительное значение не может соответствовать двум разным показателям. Логарифм — не деление на a; это искомый показатель.

Например, log₂ 32 = 5, поскольку 2⁵ = 32; log₄(1/16) = −2, поскольку 4⁻² = 1/16. Имеем log_a 1 = 0 и log_a a = 1. Обратные тождества: log_a(aˣ) = x для любого действительного x и a^{logₐ y} = y при y > 0.

Логарифмическая функция имеет область определения ]0, +∞[ и множество значений ℝ. Обмен аргумента и значения отражает графики показательной функции и её логарифма относительно y = x. При основании больше 1 логарифм возрастает; между 0 и 1 — убывает. В действительных числах аргумент не может быть нулём или отрицательным, поскольку никакая степень положительного основания не даёт таких значений.

Почему произведения становятся суммами

Для положительных u и v запиши u = aʳ и v = aˢ. Тогда uv = a^r+s, поэтому log_a(uv) = r + s = log_a u + log_a v. Аналогичное рассуждение с делением даёт log_a(u/v) = log_a u − log_a v. При u > 0 и действительном k, log_a(uᵏ) = k log_a u.

Эти свойства следуют из действий с показателями. Нет общего правила, превращающего log(u + v) в log u + log v. Достаточно контрпримера: по основанию 10, log(10 + 10) = log 20 ≈ 1,3010, тогда как log 10 + log 10 = 2. Применение свойства к неверному действию меняет значение.

Переход к другому основанию позволяет вычислить log_a y = ln y/ln a, где ln — логарифм по основанию e, приблизительно 2,71828. В числителе и знаменателе можно также использовать логарифмы по основанию 10. Формула следует из y = aˣ и применения одного логарифма к обеим частям: log y = x log a. Так как a ≠ 1, знаменатель ненулевой.

Решение уравнений с сохранением области определения

Если у двух степеней одно положительное основание, отличное от 1, aˣ = aʸ влечёт x = y. Например, 5^2x−1 = 125 = 5³ даёт 2x − 1 = 3, значит x = 2. Если удобного общего основания нет, логарифмируем обе положительные части и выделяем неизвестную в показателе.

В логарифмических уравнениях запиши условия аргументов до объединения выражений. В log₂(x − 1) + log₂(x − 3) = 3 требуется x > 3. Правило произведения даёт log₂[(x − 1)(x − 3)] = 3, значит (x − 1)(x − 3) = 8. Квадратное уравнение может дать кандидатов вне исходной области; их нужно отвергнуть.

В неравенствах монотонность определяет сохранение порядка. Логарифм по основанию больше 1 сохраняет порядок положительных аргументов; по основанию между 0 и 1 обращает его. Та же осторожность нужна при делении на ln a, отрицательный при 0 < a < 1. Проверочные значения помогают подтвердить направление полученного промежутка.

Время удвоения, распад и ограничения

Если Q(t) = Q₀aᵗ и a > 1, время удвоения T удовлетворяет Q(t + T)/Q(t) = aᵀ = 2. Значит T = ln 2/ln a. В этой модели оно не зависит от начального момента t, поскольку множитель за период постоянен. При 0 < a < 1 время уменьшения вдвое удовлетворяет aᵀ = 1/2 и равно T = ln(1/2)/ln a; оно положительно как частное двух отрицательных чисел.

Для Q(t) = Q₀e^ktпроизведение kt должно быть безразмерным: если t в днях, единица k — день⁻¹. k > 0 даёт рост, k < 0 — спад. Эта непрерывная запись полезна, но не доказывает безграничный рост реального процесса. Ресурсы, условия среды или смена режима могут сделать модель неприменимой.

Ответ для времени может требовать округления по смыслу задачи. Если количество наблюдают только в конце целых периодов, а порог превышен при t ≈ 4,2, первая целая запись выше порога будет в период 5. Нельзя просто округлять до 4, если нужен первый период, удовлетворяющий условию.

Решённые примеры без пропуска шагов

Сначала проследи рассуждение. Затем закрой решение и попробуй восстановить его своими словами.

Теперь попробуй сам

Секундомера нет. Запиши известное, выбери соотношение и обоснуй каждый шаг. Подсказки и решения доступны, когда понадобятся.

Ошибки, которых стоит избегать

Логарифм — дробь из аргумента и основания.

Это показатель, в который нужно возвести основание для получения аргумента.

log(u + v) = log u + log v.

Сумма логарифмов соответствует логарифму произведения положительных аргументов.

Все алгебраические кандидаты подходят логарифмическому уравнению.

Каждый исходный аргумент должен оставаться строго положительным.

Показательные основания между нулём и единицей сохраняют порядок показателей.

Они задают убывающие функции и обращают это сравнение.