Резонанс и применения волн

Повторение гармонического движения и собственной частоты

Идеальная пружина действует возвращающей силой F=−kx, где x — смещение от равновесия, k — жёсткость в N/m. Минус означает противоположность смещению. По второму закону mx″=−kx. Функция x=A cos(ω₀t+φ) удовлетворяет уравнению при ω₀²=k/m. Собственная угловая частота ω₀=√(k/m) в rad/s, частота в герцах f₀=ω₀/(2π).

Амплитуда A — максимальное отклонение от равновесия; фаза φ задаёт начальное состояние. Колебания могут иметь одну частоту и разные амплитуды или одну амплитуду и разные фазы. Идеальная механическая энергия чередуется между кинетической и упругой потенциальной при сумме kA²/2. Модель линейна: предполагает пропорциональную упругость пружины и постоянную эффективную массу. Большие смещения или материалы вне режима могут требовать иной модели.

Затухание: энергия покидает движение

Силу вязкого затухания приближённо задают −bx′, где b в kg/s. Без внешнего возбуждения mx″+bx′+kx=0. Мощность силы −b(x′)²≤0 показывает отбор механической энергии и передачу в другие формы. Это объясняет уменьшение амплитуды без утверждения об исчезновении полной энергии.

При слабом затухании система продолжает колебаться с падающей амплитудой. В недокритическом случае свободная затухающая угловая частота √(ω₀²−(b/2m)²) меньше ω₀. При b=2√(mk) затухание критическое, граница колебаний и неколебательного возврата; выше — сверхкритическое. Поведение зависит и от начальных условий. Нельзя смешивать собственную частоту без затухания и частоту свободных затухающих колебаний лишь из-за близости при малом b.

Периодическая сила меняет вопрос

Теперь приложи F(t)=F₀ cos(ωt). Уравнение mx″+bx′+kx=F₀ cos(ωt). Частоту ω выбирает внешний агент, ω₀ принадлежит модели массы и пружины. Начальный отклик включает переходный процесс начальных условий. При положительном затухании он затухает, оставляя установившийся режим с внешней частотой.

В установившемся режиме x=A(ω)cos(ωt−δ), где δ — фазовое запаздывание. При низких частотах пружина почти квазистатически следует силе. При очень высоких инерция мешает большим смещениям, отклик отстаёт почти на полоборота. Между режимами возможна большая амплитуда. Рост не создаёт энергию: внешняя сила совершает работу за цикл, затухание рассеивает. Установившийся режим достигается при балансе средних передач.

Откуда амплитуда и где пик

Подстановка синусоидального отклика даёт часть, пропорциональную смещению, и квадратурную, связанную со скоростью. Коэффициенты (k−mω²)A и bωA. Поскольку части сдвинуты на четверть цикла, амплитуда силы удовлетворяет F₀²=A²[(k−mω²)²+(bω)²]. Тогда:

Наибольшее смещение зависит от всего знаменателя, а не только k−mω². При фиксированной амплитуде силы и вязком затухании пик при ωp=√(ω₀²−b²/(2m²)), если b²<2mk. При большем затухании положительного внутреннего пика нет. Поэтому нет универсального правила максимума точно в ω₀. При слабом затухании ωp близка ω₀, приближение часто подходит.

Фаза и энергия: какой отклик измеряется?

Фаза удовлетворяет tanδ=bω/(k−mω²) с верной четвертью для 0≤δ≤π. При ω=ω₀ и b>0 δ=π/2: смещение отстаёт от силы на четверть цикла. Скорость в фазе с силой, средняя передача энергии эффективна. Одна арктангенс-функция без знака знаменателя может дать неверную фазу выше ω₀.

Средняя рассеиваемая мощность bω²A²/2. В этой модели при фиксированной F₀ максимум при ω=ω₀, даже если пик смещения чуть ниже. Различие учит указывать наблюдаемую величину: смещение, скорость или мощность. Большее затухание снижает и расширяет отклик смещения. Узкий пик выбирает частоты, но делает систему чувствительной к малым изменениям. Без затухания при точно собственной частоте конечной установившейся амплитуды нет: идеальная модель предсказывает рост, ограничиваемый реальными системами.

Стоячие волны и моды

У шнура с фиксированными концами отражение и суперпозиция допускают моды с узлами на концах. В длине L помещается n полуволн: λₙ=2L/n при положительном целом n. При скорости волны v fₙ=nv/(2L). Основная мода n=1; следующие — целые гармоники в идеальной однородной модели шнура.

Возбуждение близко к моде может создать сильный отклик при связи с этим узором и недостаточном для подавления рассеянии. Совпадения частоты мало: важны место силы и симметрия. Возбуждение в узле моды может слабо с ней связываться. Воздушные столбы с разными концами имеют разные последовательности мод. Музыкальные инструменты и системы контроля вибраций используют или ограничивают отклики с учётом геометрии, рассеяния и рабочей амплитуды.

Решённые примеры без пропуска шагов

Сначала проследи рассуждение. Затем закрой решение и попробуй восстановить его своими словами.

Теперь попробуй сам

Секундомера нет. Запиши известное, выбери соотношение и обоснуй каждый шаг. Подсказки и решения доступны, когда понадобятся.

Ошибки, которых стоит избегать

Резонанс создаёт энергию из ничего.

Возбуждение поставляет энергию; рассеяние и нелинейность ограничивают отклик.

Собственная частота и любой пик амплитуды одинаковы.

Пик зависит от затухания, возбуждения и наблюдаемой величины.

Стоячая волна — отсутствие движения всего шнура.

Узлы покоятся, пучности колеблются; пространственный узор сохраняется.