Тригонометрические функции и уравнения

Повторить окружность и радианы

На единичной окружности конечная точка угла x имеет координаты (cos x, sen x). Полный оборот равен 2π rad, что соответствует 360°. В этом уроке аргументы без значка градусов измеряются в радианах. Для точных значений используй опорные углы π/6, π/4 и π/3, затем выбирай знаки по четверти.

Например, sen(7π/6) = −1/2, поскольку угол в третьей четверти и имеет опорный угол π/6. Косинус −√3/2, тангенс √3/3. Синус читает высоту точки, косинус — её горизонтальное положение. Это позволяет определить, сколько точек имеют указанную высоту или абсциссу.

Тождество sen² x + cos² x = 1 следует из уравнения окружности. Тангенс равен sen x/cos x и требует cos x ≠ 0. Тождество — равенство на всей общей области; уравнение ищет аргументы, при которых выполняется конкретное равенство. Путаница может привести к утверждению условия для всех углов, когда оно верно лишь для некоторых.

От точки к периодическим кривым

При увеличении x от 0 до 2π синус проходит значения 0, 1, 0, −1, 0 при аргументах 0, π/2, π, 3π/2, 2π. Косинус при тех же аргументах проходит 1, 0, −1, 0, 1. Между точками значения меняются непрерывно, образуя гладкие кривые. Таблица организует особые точки; окружность объясняет поведение между ними.

Синус и косинус имеют область ℝ и множество значений [−1, 1]. Их основной период 2π: f(x + 2π) = f(x) для любого x, и меньшего положительного периода для всех аргументов нет. Период — изменение аргумента, воспроизводящее весь рисунок, а не просто расстояние между двумя точками одинаковой высоты.

Область тангенса — ℝ без π/2 + kπ с целым k, множество значений ℝ. Основной период π: пол-оборота одновременно меняют знаки синуса и косинуса, сохраняя отношение. Прямые x = π/2 + kπ — вертикальные асимптоты; тангенс не принимает в этих точках бесконечное значение, поскольку там не определён.

Амплитуда, средняя линия и период

Рассмотрим y = A sen[B(x − h)] + D при A ≠ 0 и B ≠ 0. Средняя линия y = D, амплитуда |A|, множество значений [D − |A|, D + |A|]. Знак A может отражать график относительно средней линии, но амплитуда — расстояние и никогда не отрицательна. Та же структура верна для косинуса.

Для периода T требуется изменение аргумента на полный оборот: |B|T = 2π. Поэтому T = 2π/|B|. Параметр B не является периодом; чем больше |B|, тем быстрее аргумент проходит обороты и тем меньше период. Горизонтальный сдвиг h читается после приведения аргумента к B(x − h).

Например, 2 sen(3x − π) + 4 = 2 sen[3(x − π/3)] + 4. Амплитуда 2, средняя линия 4, период 2π/3, сдвиг π/3 вправо. Чтение −π как непосредственного сдвига игнорирует множитель 3. При A = 0 или B = 0 функция постоянна, и формула основного периода синусоиды неприменима.

Два семейства и бесконечные обороты

Для решения sen x = a сначала требуется |a| ≤ 1; вне этого промежутка действительных решений нет. Если sen α = a, общие семейства x = α + 2kπ или x = π − α + 2kπ, k целое. При a = ±1 семейства могут совпадать; повторы нужно убрать. Геометрически высота обычно пересекает окружность в двух точках за оборот.

Для cos x = a при |a| ≤ 1, если cos α = a, имеем x = α + 2kπ или x = −α + 2kπ. Для tan x = a одно решение α порождает x = α + kπ. Тангенс допускает любое действительное a, но аргументы должны оставаться в его области. Главное значение калькулятора — лишь представитель, а не весь список.

Главные обратные функции выбирают промежутки для единственного ответа: arcsen даёт значения в [−π/2, π/2], arccos в [0, π], arctan в ]−π/2, π/2[. На калькуляторе «sen⁻¹» может обозначать arcsen; это не 1/sen. Получив главное значение, используй симметрию и периодичность для остальных требуемых решений.

Алгебра тригонометрических выражений

Уравнение может быть квадратным относительно sen x или cos x. Выполни временную замену, например u = sen x, и реши многочленное уравнение. Затем потребуй u между −1 и 1 и вернись к тригонометрическим семействам. Кандидат u = 2 может решать вспомогательное уравнение, но не может быть синусом действительного угла.

Разложение сохраняет возможности, которые деление могло бы потерять. В sen x cos x = 0 свойство нулевого произведения даёт sen x = 0 или cos x = 0. Немедленное деление на sen x устранило бы все решения с нулевым синусом. Также нельзя умножать равенство на неопределённое выражение ради «сокращения» знаменателя.

При аргументе 2x сначала решай для него либо осторожно преобразуй семейства. На промежутке 0 ≤ x < 2π величина 2x проходит [0, 4π[, то есть два оборота. Поиск только одного оборота 2x теряет решения. При добавлении или делении множителей в общих семействах меняется и период неизвестной.

Периодические модели и выбор промежутков

Периодическая модель представляет явление с приблизительно повторяющимся рисунком. Если высота колеблется от 2 m до 8 m, средняя линия (2 + 8)/2 = 5 m, амплитуда (8 − 2)/2 = 3 m. Если цикл длится 12 s, угловой множитель 2π/12 = π/6 rad/s. Начальная фаза зависит от места начала движения и его направления.

Например, H(t) = 5 − 3 cos(πt/6) начинается с минимума: H(0) = 2. Через 6 s достигает 8, через 12 s возвращается к 2. Аргумент πt/6 безразмерен, если t в секундах с соответствующим угловым множителем. Амплитуда имеет единицу высоты, период — времени.

Если спрашивают «в течение первого цикла», выбери [0, 12[ или [0, 12] согласно объявленным границам. Граничный момент может принадлежать двум циклам, если оба замкнуты. Ответ должен перечислять допустимые моменты, а не просто давать бесконечное семейство без отбора по контексту.

Решённые примеры без пропуска шагов

Сначала проследи рассуждение. Затем закрой решение и попробуй восстановить его своими словами.

Теперь попробуй сам

Секундомера нет. Запиши известное, выбери соотношение и обоснуй каждый шаг. Подсказки и решения доступны, когда понадобятся.

Ошибки, которых стоит избегать

Амплитуда может быть отрицательной.

Она равна |A|, расстоянию до средней линии.

Множитель B — период синусоиды.

При B ≠ 0 период равен 2π/|B|.

Калькулятор даёт все тригонометрические решения.

Он даёт главное значение; окружность и периодичность дают остальные.

Деление на синус или косинус никогда не меняет решения.

Оно может убрать нули множителя или использовать точки вне области.

Промежуток x совпадает с промежутком 2x.

Умножение аргумента меняет проходимый промежуток и может увеличить число решений.