Данные и вероятность — дополнение

Основы: что и кого мы наблюдаем

Генеральная совокупность — множество, о котором мы хотим узнать; выборка — наблюдаемая часть. Если изучаем время дороги всех учеников школы, они составляют совокупность. Опрошенные 40 учеников — выборка. Важны и её размер, и способ отбора: выбор только приходящих очень рано может сместить собранные времена.

Переменная — характеристика, записываемая для каждой наблюдаемой единицы. Вид транспорта — качественная; число братьев и сестёр — количественная дискретная; время поездки — количественная непрерывная, даже при округлении до минуты. Числовые коды категорий не превращают их в количества: среднее кодов автобуса и ходьбы не даёт полезной характеристики.

Случайная выборка не гарантирует совершенства, но помогает избежать систематического отбора в пользу определённых результатов. Случайный отбор людей отличается от случайного назначения воздействия: первый помогает представить совокупность; второе — сравнивать причины в эксперименте. Отсутствие ответов и разные способы измерения тоже могут исказить выводы.

Организация и представление распределения

Абсолютная частота значения или класса — число относящихся к нему наблюдений. Относительная частота делит число на общее n; процент умножает на 100. Если 9 из 30 учеников ездят на велосипеде, относительная частота 9/30 = 0,3, процент 30%. Сумма абсолютных частот должна быть n, относительных — 1, за исключением небольшого эффекта округления.

Для категорий диаграмма с раздельными столбцами показывает количества или доли. Для непрерывной переменной, сгруппированной по интервалам, гистограмма использует смежные столбцы. При разной ширине классов частоту должна представлять площадь каждого столбца, а не просто высота; используют подходящую плотность. Всегда задавай границы классов, чтобы наблюдение не осталось без класса и не попало в два.

Графику нужны заголовок, оси, единицы и читаемые масштабы. Обрезка вертикальной оси столбчатой диаграммы может зрительно преувеличить различия. Группировка облегчает чтение, но теряет информацию о значениях внутри классов. Среднее по серединам классов обычно является приближением, а не точным средним исходных данных.

Среднее, медиана и мода отвечают на разные вопросы

Среднее арифметическое — сумма значений, делённая на число наблюдений: x̄ = (x₁ + … + xₙ)/n. Его можно понимать как равное перераспределение итога. Если каждое xᵢ встречается fᵢ раз, среднее — сумма произведений fᵢxᵢ, делённая на сумму частот. Нельзя брать простое среднее средних групп разных размеров.

Медиана требует упорядочить данные. При нечётном n это центральное значение; при чётном — среднее двух центральных. Мода — значение наибольшей частоты, и она может быть не единственной. В списке 2, 3, 3, 4, 18 среднее 30/5 = 6, медиана 3, мода 3. Крайнее значение 18 тянет среднее, хотя четыре из пяти значений лежат между 2 и 4.

Нет единственной всегда лучшей характеристики. Среднее учитывает все величины и полезно для итогов; медиана описывает центральное положение, менее чувствительное к величине крайних значений; мода может описать самую частую категорию. В выводе нужно указать используемую характеристику и при необходимости показать форму распределения.

Одинаковое среднее может скрывать разброс

Списки 4, 5, 6 и 0, 5, 10 имеют среднее 5, но второй сильнее разбросан. Размах — максимум минус минимум: 2 в первом и 10 во втором. Он использует лишь два значения. Межквартильный размах Q₃ − Q₁ описывает разброс центральной половины; способ вычисления квартилей следует указать, поскольку в малых выборках существуют разные соглашения.

Стандартное отклонение использует отклонения от среднего. Для полной совокупности из N значений дисперсия σ² = [Σ(xᵢ − μ)²]/N, стандартное отклонение σ = √σ². Символ Σ означает суммирование указанных членов, μ — среднее совокупности. Квадраты не позволяют положительным и отрицательным отклонениям погасить друг друга. Корень возвращает исходную единицу данных.

Когда выборка из n > 1 значений оценивает дисперсию совокупности, обычная формула s² = [Σ(xᵢ − x̄)²]/(n − 1), а s = √s². Другой знаменатель связан с целью оценивания; нужно указывать применённую формулу. Нулевое стандартное отклонение означает равенство всех значений, а не нулевое среднее.

Исходы, события и наблюдаемые частоты

Пространство исходов Ω объединяет возможные результаты случайного опыта. Событие A — подмножество Ω. Вероятность P(A) лежит между 0 и 1, причём P(Ω) = 1. Если элементарных исходов конечное число и они равновероятны, P(A) — число благоприятных исходов, делённое на число возможных. Равновероятность — предположение, она не следует из простого перечисления исходов.

Для идеального шестигранного кубика Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Событие «чётное» содержит три исхода, значит вероятность 3/6 = 1/2. Дополнение Aᶜ объединяет исходы вне A и имеет вероятность 1 − P(A). В объединении A ∪ B достаточно одного события; в пересечении A ∩ B должны произойти оба.

Правило P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) вычитает дважды учтённую часть. Наблюдаемая частота 47 чётных из 100 бросков равна 0,47 и автоматически не меняет теоретическую вероятность 0,5. При многих независимых повторениях одной модели относительные частоты стремятся приблизиться к вероятности; немедленная компенсация серии исходов не обязательна.

Условная вероятность: кто остаётся в знаменателе

P(A | B) означает вероятность A при известном наступлении B. Информация сужает рассматриваемый мир до B. Поэтому знаменателем становится вероятность B, которая должна быть положительной:

Если случайно выбирают ученика из 40, среди которых 25 пользуются общественным транспортом и 10 из этих 25 приходят до 7 часов, вероятность прихода до 7 при условии использования транспорта равна 10/25. Деление на 40 ответило бы на вопрос «пользуется транспортом и приходит до 7», а не на условный вопрос.

Правило умножения: P(A ∩ B) = P(B)P(A | B). A и B независимы, если знание одного не меняет вероятность другого; это равносильно P(A ∩ B) = P(A)P(B). Они несовместимы, если не могут произойти вместе, то есть A ∩ B пусто. Два несовместимых события положительных вероятностей не независимы: наступление одного делает другое невозможным.

При извлечении без возвращения состав множества меняется, и последующие вероятности нужно пересчитать. С возвращением и новым случайным выбором в тех же условиях возможна независимость. Это предположение требует обоснования; «происходят в разное время» недостаточно.

Корреляция, причинность и критическое чтение

Диаграмма рассеяния размещает пары наблюдений (x, y) и помогает увидеть положительную, отрицательную связь, отсутствие линейной закономерности или кривую зависимость. Коэффициент линейной корреляции r, когда определён, лежит между −1 и 1 и описывает направление и силу линейной связи. Близость к нулю не исключает нелинейной зависимости.

Корреляция не доказывает причинность. В условном наблюдении ученики с большим временем учёбы могут получать лучшие результаты, но мотивация, доступная поддержка или прежние знания способны влиять на обе переменные. Возможны обратная причинность или отбор участников. Подобранная прямая описывает связь; она не доказывает, что изолированное изменение x вызовет предсказанное изменение y.

Прежде чем обобщать, спроси, кого наблюдали, как получили данные, какие сравнения справедливы и какие факторы упущены. Не продолжай тенденцию на возраст, время или количества далеко за пределами данных без дополнительного основания. Ответственная статистика сочетает расчёт, описание условий и ясные пределы выводов из наблюдений.

Решённые примеры без пропуска шагов

Сначала проследи рассуждение. Затем закрой решение и попробуй восстановить его своими словами.

Теперь попробуй сам

Секундомера нет. Запиши известное, выбери соотношение и обоснуй каждый шаг. Подсказки и решения доступны, когда понадобятся.

Ошибки, которых стоит избегать

Большая выборка устраняет любое смещение.

Систематически односторонний отбор может сохранять смещение даже при множестве наблюдений.

Среднее описывает всё распределение.

Нужно изучить разброс, асимметрию, крайние значения и контекст.

В условной вероятности всегда делят на исходное общее число.

Делят на множество или вероятность известного условия.

Независимость означает, что два события не могут произойти вместе.

Это несовместимость; независимость означает, что информация об одном не меняет вероятность другого.

Корреляция доказывает, что одна переменная вызывает другую.

Наблюдаемая связь допускает смешивающие факторы, обратную причинность и другие объяснения.