Функции, область определения и представления

Что ты поймёшь

Различать область определения, целевое множество и множество значений на конечных и непрерывных примерах.
Находить ограничения действительных формул и сочетать одновременные ограничения.
Связывать представления, читать изменения и оценивать границы модели.

Перед началом

Не нужно помнить всё наизусть. Объяснение возвращается к нужным идеям и показывает их связи. Если какая-то основа ещё неясна, можно вернуться к этим урокам:

Повторение: от правила к упорядоченным парам

Отношение связывает элементы. Функция — отношение с ровно одним выходом для каждого разрешённого входа. Правило «каждому целому от 1 до 4 сопоставить квадрат» даёт (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16). Список проверяет единственность выхода для всех входов конечной области.

В f(x) x — вход, f(x) — результат. Если f(x) = 3x − 2, f(5) = 13. Но f(x) = 13 — уравнение с решением x = 5. f — имя функции; можно g с тем же определением. Входная переменная может называться t, особенно для времени.

Подстановка важна: при g(x) = x² + 2x g(−3) = (−3)² + 2(−3) = 9 − 6 = 3. Скобки сохраняют весь отрицательный вход под квадратом. g(1) тоже может быть 3. Это не нарушение: два входа могут давать один выход.

Область определения, целевое множество и множество значений

f: D → C означает область определения D и объявленное целевое множество C. Каждый x из D получает f(x) из C. Множество значений Im(f) объединяет только реально достигаемые значения. Поэтому Im(f) включено в C, но не обязательно равно C.

Например, f: {−2, −1, 0, 1, 2} → ℝ по f(x) = x². Пять входов; множество значений {0, 1, 4}; целевое всё ℝ. 3 в целевом, но не в значениях. Если объявить целевым {0, 1, 4}, то же правило на тех же входах достигало бы всего целевого множества.

У q: ℝ → ℝ, q(x) = x² множество значений [0, +∞[. Любое y ≥ 0 достигается x = √y, никакое отрицательное y не квадрат действительного. Сюръективная функция достигает всего объявленного целевого множества. Инъективная даёт разные выходы разным входам; q не инъективна на ℝ, поскольку q(−2) = q(2).

Как найти область определения формулы

Для формулы без явной области в ℝ ищем естественную: действительные значения, где все операции имеют смысл. Многочлены, например x³ − 2x + 1, принимают все действительные. Знаменатель ненулевой. Корень чётной степени требует неотрицательного подкоренного; нечётной допускает отрицательные.

Для f(x) = √(x − 2)/(x − 5) одновременно нужны x − 2 ≥ 0 и x − 5 ≠ 0. Первое x ≥ 2, второе исключает 5. Область [2, 5[ ∪ ]5, +∞[. ∪ — объединение: входы одного или другого интервала. «Одновременно» — пересечение условий, не выбор одного.

Упрощение не устраняет исходные ограничения. (x² − 9)/(x − 3) совпадает с x + 3 лишь при x ≠ 3. Первая запрещает 3; вторая на всём ℝ нет. Формулы дают одинаковые значения там, где обе существуют, но функции разных областей не одна функция.

Слова, таблица, диаграмма и график

Словесное описание объясняет смысл величин и допущения; таблица показывает конкретные пары; выражение позволяет вычислять значения; график делает видимыми тенденции и пересечения. Ни одно представление не заменяет автоматически остальные. Конечная таблица сама по себе не определяет единственную формулу для всех действительных чисел: многие правила могут совпадать в перечисленных точках и различаться между ними.

В стрелочной диаграмме у каждого элемента области ровно одна выходящая стрелка. Многие стрелки могут приходить в одну цель. На декартовом графике вертикаль x = a не может встречать две разные ординаты у функции x. Вертикальный тест геометрически выражает единственность выхода.

Полная окружность не является графиком единственной функции y от x: многим абсциссам соответствуют положительная и отрицательная ординаты. Верхняя полуокружность может быть функцией, например y = √(r² − x²) на [−r, r], при r > 0. Ограничение отношения позволяет выбрать единственный результат, но этот выбор нужно указать.

Чтение роста и средних скоростей изменения

Функция возрастает на промежутке, если большим аргументам соответствуют большие значения; убывает, если большим аргументам соответствуют меньшие значения. Всегда сравнивай слева направо по оси аргумента. Для f(x) = (x − 3)² функция убывает до x = 3, затем возрастает. Положительные значения не означают возрастания: между 0 и 2 значения 9, 4 и 1 положительны, но убывают.

Средняя скорость изменения между различными аргументами a и b равна [f(b) − f(a)]/(b − a). Числитель измеряет изменение значения; знаменатель — изменение аргумента. Если значение — объём в литрах, а аргумент — время в минутах, скорость выражается в литрах в минуту. Средняя скорость не гарантирует равномерности изменения.

Для V(t) = 120 − 6t между t = 2 и t = 7 объём V меняется со 108 до 78. Средняя скорость равна (78 − 108)/(7 − 2) = −30/5 = −6 L/min. Минус указывает на уменьшение объёма. У этой аффинной функции все средние скорости совпадают; у квадратичной функции это уже не так.

Контекстная область и кусочные функции

Область определения модели может быть уже допустимой области её выражения. Если V(t) = 120 − 6t описывает опорожнение бака с постоянной скоростью, время начинается с 0 и заканчивается при V = 0, то есть при t = 20 min. Подстановка t = 30 дала бы объём −60 L: вычисление допустимо, но несовместимо с этой физической моделью.

Иногда в разных областях действуют разные правила. Условная услуга может стоить C(n) = 100n при 0 ≤ n ≤ 5 и C(n) = 500 + 80(n − 5) при n > 5, где n — целое число единиц, а C выражено в Kz. Вторая ветвь сохраняет стоимость первых пяти единиц и добавляет 80 за каждую следующую; новая цена не применяется ко всем единицам.

Для вычисления C(7) сначала выбери верную ветвь: C(7) = 500 + 80 × 2 = 660 Kz. Недостаточно увидеть букву и подставить число в любое выражение. Границы ветвей требуют ясных правил: если две ветви включают один аргумент с разными значениями, определение некорректно; если аргумент из области определения не охвачен ни одной ветвью, оно тоже некорректно.

Решённые примеры без пропуска шагов

Сначала проследи рассуждение. Затем закрой решение и попробуй восстановить его своими словами.

Пример 1

Конечное множество значений и множество прибытия

Задана f: {−3, −1, 0, 2} → ℝ формулой f(x) = x² − 1. Найди множество значений.

Вычисли для четырёх аргументов: f(−3) = 9 − 1 = 8 и f(−1) = 1 − 1 = 0.
Вычисли f(0) = −1 и f(2) = 4 − 1 = 3.
Собери результаты без повторений: {−1, 0, 3, 8}. Объявленное множество прибытия остаётся ℝ.

Результат

Im(f) = {−1, 0, 3, 8}.

Проверить результат

В этом примере четыре аргумента и четыре разных значения. Число 5 принадлежит ℝ, но ни один из четырёх аргументов не даёт 5.

Пример 2

Два ограничения одновременно

Найди действительную область определения h(x) = √(7 − x)/(x + 1).

Корень требует 7 − x ≥ 0, следовательно x ≤ 7.
Знаменатель требует x + 1 ≠ 0, следовательно x ≠ −1.
Объедини условия: все действительные числа до 7, включая 7, кроме −1.

Результат

D = ]−∞, −1[ ∪ ]−1, 7].

Проверить результат

При 7 корень равен 0, знаменатель — 8, поэтому значение существует. При −1 было бы деление на ноль; при 8 — корень из −1.

Пример 3

Промежуток — часть модели

Объём бака V(t) = 90 − 3t литров, где t — минуты после начала слива. Вычисли V(8), момент окончания модели и среднюю скорость между 5 и 10 min.

V(8) = 90 − 24 = 66 L. Для пустого бака 90 − 3t = 0 даёт t = 30 min.
Область определения по смыслу задачи — [0, 30], при равномерном сливе без пополнения.
V(5) = 75 и V(10) = 60; средняя скорость равна (60 − 75)/(10 − 5) = −15/5 = −3 L/min.

Результат

Через 8 min остаётся 66 L; модель заканчивается в 30 min; средняя скорость равна −3 L/min.

Проверить результат

Общая потеря за 30 min равна 3 × 30 = 90 L. Знак скорости согласуется с опорожнением.

Теперь попробуй сам

Секундомера нет. Запиши известное, выбери соотношение и обоснуй каждый шаг. Подсказки и решения доступны, когда понадобятся.