Интеграл как площадь и накопление

Задача накопления

Если постоянный расход 3 L/min длится 4 min, переданный объём 12 L. Умножение скорости на длительность работает из-за постоянства скорости. При переменном расходе одно произведение не описывает точно весь промежуток. Его можно разделить на короткие части, приблизить скорость значением на каждой и сложить малые переданные количества.

Та же структура возникает у скорости и перемещения, мощности и энергии, линейной плотности и массы. Единица накопленной величины равна произведению единицы скорости изменения на единицу переменной интегрирования. График скорости в m/s от времени в s даёт накопление в метрах. Поэтому «площадь» рисунка не обязательно означает квадратные метры: всё зависит от величин на осях. Определение этих единиц — часть понимания, а не только оформления ответа.

Построение интеграла суммами

Раздели [a,b] на n равных частей шириной Δx=(b−a)/n. В каждой выбери xᵢ* и вычисли f(xᵢ*)Δx. Сумма Σf(xᵢ*)Δx приближает полное накопление. Если суммы сходятся к одному значению при стремлении максимальной ширины частей к нулю независимо от допустимых выборов, это определённый интеграл ∫_a^bf(x) dx.

Непрерывная на замкнутом промежутке функция интегрируема. Некоторые разрывные тоже, но непрерывность — простое достаточное условие этого раздела. Левые или правые прямоугольники — конечное приближение, обычно не точный интеграл. Для возрастающей функции левая сумма занижает, правая завышает. Уточнение разбиения сближает прогнозы при выполнении условий модели.

Знак меняет вопрос

Для неотрицательной f интеграл представляет площадь между графиком и горизонтальной осью на промежутке. Для отрицательной f слагаемые отрицательны. Тогда интеграл — знаковое накопление: площадь сверху минус модуль площади снизу. Нулевой интеграл может соответствовать двум большим компенсирующимся областям.

Полную геометрическую площадь получают интегрированием |f| либо разделением промежутка по нулям с положительными вкладами площадей. В кинематике интеграл скорости даёт перемещение; интеграл модуля скорости |v| — пройденное расстояние. Объект может вернуться к началу с нулевым перемещением после положительного пути. До вычислений выясни, сохраняются ли знаки или суммируются модули.

Первообразные и постоянная интегрирования

Первообразная F функции f на промежутке удовлетворяет F′=f. Например, x³/3 — первообразная x², поскольку её производная x². Добавление константы не меняет производную: все x³/3+C — первообразные. На промежутке две первообразные одной функции отличаются константой. Запись ∫f(x) dx без границ обозначает это семейство — неопределённый интеграл.

Правило ∫xⁿ dx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C применяется при n≠−1 на подходящей действительной области. Для 1/x первообразная ln|x|+C на промежутках без перехода через ноль. Применение степенного правила при n=−1 дало бы деление на ноль. Надёжнее всего проверять первообразную дифференцированием. dx обозначает переменную, а не необязательное украшение при нескольких величинах.

Почему накопление и производная связаны

Определи A(x)=∫_a^xf(t) dt при непрерывной f. При росте x на h изменение A(x+h)−A(x) накапливает лишь малую полосу от x до x+h. Деление на h даёт среднюю скорость f на полосе. По непрерывности она приближается к f(x). Значит A′(x)=f(x): мгновенная скорость накопления восстанавливает накапливаемую функцию.

Вторая часть основной теоремы позволяет вычислять: если f непрерывна на [a,b], F — первообразная, то ∫_a^bf(x) dx=F(b)−F(a). Константы сокращаются. Определённый интеграл — число, неопределённый — семейство функций. Не добавляй +C к конечному числу определённого интеграла. При особенностях внутри промежутка прямое применение может не работать и требует другого исследования.

Свойства и пределы применения

Накопления складываются: интеграл f+g — сумма интегралов, постоянный множитель выносится. Деление промежутка в c даёт интеграл от a до b как сумму от a до c и от c до b. Перестановка границ меняет знак; равные границы дают ноль. Свойства отражают направление и состав малых сумм.

Среднее значение интегрируемой функции на [a,b], a<b, — интеграл, делённый на b−a. Обычно это не просто среднее граничных значений. Для экспериментальных данных методы вроде трапеций дают приближения; качество зависит от изменения между измерениями, разрешения и неопределённостей. Точный интеграл модели не делает измеренное явление точным. Всегда указывай функцию, промежуток, единицы и физический или геометрический смысл.

Решённые примеры без пропуска шагов

Сначала проследи рассуждение. Затем закрой решение и попробуй восстановить его своими словами.

Теперь попробуй сам

Секундомера нет. Запиши известное, выбери соотношение и обоснуй каждый шаг. Подсказки и решения доступны, когда понадобятся.

Ошибки, которых стоит избегать

Определённый интеграл всегда положительная площадь.

Это знаковое накопление; геометрическая площадь использует модули.

Каждый интеграл получает +C в окончательном ответе.

Константа относится к семейству первообразных; в определённом интеграле сокращается.

Достаточно найти первообразную на границах даже при особенности между ними.

Теорема требует условий на промежутке; особенности нельзя игнорировать.