Изменение и приближение

Повторить смысл скорости

Если f дифференцируема в a, отношение [f(a+h)−f(a)]/h приближается к f′(a) при h→0. Поэтому для малого h можно записать f(a+h)−f(a) приблизительно равным f′(a)h. Единица произведения верна: производная имеет единицу значения на аргумент, h — аргумента. Итоговая оценка возвращается к единице значения.

Производная не говорит о точно постоянной скорости в окрестности. Она говорит, что постоянная скорость даёт лучшее описание первого порядка достаточно близко к точке. Если длина меняется на 0,02 cm, изменение площади квадрата зависит от начальной длины. Одинаковое приращение может иметь очень разные эффекты в разных системах или частях одной функции.

Построение линеаризации

Касательная в a: L(x)=f(a)+f′(a)(x−a). Она называется линеаризацией f в этой точке. Для оценки f(a+h) выбери базу a с легко вычисляемыми f(a) и f′(a). Близость оценивают в масштабе функции, а не числом десятичных знаков. Для √x приближение 36,4 прямой в 36 разумно; та же прямая около нуля — нет.

Точная запись приближения: f(a+h)=f(a)+f′(a)h+r(h), где r(h)/h→0. Остаток r(h) мал по сравнению с h. Это не означает нулевой остаток и само не даёт численной границы для выбранного h. Для количественного контроля ошибки нужна дополнительная информация о функции на промежутке.

Точное изменение, дифференциал и ошибка

Точное изменение Δy=f(a+h)−f(a). Дифференциал dy=f′(a)h — изменение, предсказанное прямой. Знаковая ошибка оценки L(a+h)−f(a+h); абсолютная — её модуль. Относительная делит абсолютную на модуль точного значения, если оно ненулевое. Умножение на 100 даёт процентную ошибку. Указывай знаменатель, особенно при сравнении изменений вместо полных значений.

Для f(x)=x², Δy=2ah+h² и dy=2ah. Разность h² прямо показывает отброшенный член. При a=10 и h=0,1 реальное изменение 2,01, дифференциал 2. Абсолютная ошибка изменения 0,01; относительно изменения около 0,498%, но относительно конечного 102,01 около 0,0098%. Проценты отвечают на разные вопросы.

Кривизна и контроль ошибки

Если у f непрерывная вторая производная между a и a+h и |f″(x)|≤M на промежутке, ошибка линеаризации не больше M h²/2. Скорость может отклоняться от f′(a), но кривизна контролирует это изменение; накопление даёт квадратичный член. Здесь это дополнительный результат, а не автоматическое следствие существования одной производной.

Знак кривизны также направляет прогноз. При f″>0 на всём малом промежутке кривая выше касательной: L занижает f. При f″<0 касательная завышает. Для √x вторая производная −1/(4x^3/2) при x>0, поэтому касательная завышает. Около нуля модуль кривизны сильно растёт, предупреждая о большей ошибке при той же горизонтальной дистанции.

Чувствительность и неопределённость измерения

При малой неопределённости Δℓ стороны квадрата ℓ площадь A=ℓ² меняется приблизительно на 2ℓΔℓ. Деление на A даёт ΔA/A приблизительно 2Δℓ/ℓ. Для V=ℓ³ относительная неопределённость близка к 3Δℓ/ℓ. Это предполагает малые относительные изменения и подходящую геометрию; при требовании гарантии не заменяет точные интервалы.

Симметричный допуск аргумента может дать асимметричный допуск значения. При ℓ=10±0,1 cm площадь точно между 9,9²=98,01 и 10,1²=102,01 cm². Дифференциальная оценка 100±2 cm² хорошо объясняет масштаб, но точные границы показывают малый квадратичный член. Если функция теряет монотонность на промежутке неопределённости, нужно изучить внутренние точки, а не только подставить границы.

Критическое применение и точность

Линеаризация полезна для устного счёта, калибровки приборов и анализа малых возмущений. Она объясняет, почему всем знакам калькулятора нельзя придавать физический смысл. Неопределённость измеренного аргумента передаётся значению; больше цифр вычисления не снимает исходного ограничения.

До оценки задай допустимую погрешность и проверь область на всём промежутке. Знаменатель около нуля может сильно усилить малое изменение. Слишком далёкая экстраполяция линеаризации способна даже предсказать отрицательное для всегда положительной величины. Вернись к исходной функции, смени опорную точку или используй более полное приближение. Полезность метода требует признания границы, а не применения на любом расстоянии.

Решённые примеры без пропуска шагов

Сначала проследи рассуждение. Затем закрой решение и попробуй восстановить его своими словами.

Теперь попробуй сам

Секундомера нет. Запиши известное, выбери соотношение и обоснуй каждый шаг. Подсказки и решения доступны, когда понадобятся.

Ошибки, которых стоит избегать

Касательная совпадает с функцией около точки.

Обычно она лишь приближает; остаток нужно оценить.

Приращение 0,1 всегда мало.

Масштаб, близость особенностей и кривизна определяют ошибку.

Относительная и абсолютная неопределённости имеют одинаковые единицы.

Абсолютная имеет единицу величины; относительная — безразмерное отношение.