Geometria analítica no plano

Rever coordenadas e escolher uma escala

Num referencial cartesiano ortonormado, os eixos são perpendiculares e usam a mesma unidade de comprimento. A palavra ortonormado é importante: as fórmulas métricas usuais pressupõem essa geometria. Se um gráfico usa escalas visuais diferentes nos eixos, pode representar corretamente as coordenadas, mas comprimentos e ângulos aparentes ficam distorcidos.

O ponto A = (−2, 4) tem abcissa −2 e ordenada 4. O deslocamento de A para B = (3, 1) tem componentes 3 − (−2) = 5 na horizontal e 1 − 4 = −3 na vertical. Componentes podem ser negativas porque indicam sentido; a distância entre os pontos é um comprimento e não pode ser negativa.

Para problemas de localização, escolhe origem, eixos e unidade antes de escrever números. Um mapa pode usar quilómetros, uma planta pode usar metros. A escolha do referencial muda as coordenadas, mas não muda a distância geométrica entre dois pontos quando a transformação conserva comprimentos. Uma boa escolha simplifica contas sem alterar o problema.

Deduzir a distância e o ponto médio

Se A = (x₁, y₁) e B = (x₂, y₂), as projeções horizontal e vertical formam um triângulo retângulo com catetos de comprimentos |x₂ − x₁| e |y₂ − y₁|. Pelo teorema de Pitágoras, a distância é:

Os quadrados fazem com que trocar A e B não altere o resultado: d(A, B) = d(B, A). Se a distância é zero, as duas diferenças têm de ser zero e os pontos coincidem. Subtrair as coordenadas na mesma ordem em ambas as componentes evita confusões, embora os quadrados eliminem o sinal no resultado final.

O ponto médio M divide o segmento em duas partes iguais e tem coordenadas M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Cada coordenada é a média das coordenadas correspondentes. Para A = (−2, 4) e B = (3, 1), M = (0,5; 2,5), usando ponto e vírgula para separar coordenadas com vírgula decimal. A diferença de A até M é metade da diferença de A até B, o que justifica a fórmula e a igualdade das duas distâncias.

Equações de retas: mais de uma forma

Uma reta não vertical que passa por A = (x₀, y₀) e tem declive m satisfaz y − y₀ = m(x − x₀). A ideia é que todos os deslocamentos ao longo da reta têm a mesma razão entre mudança vertical e horizontal. Com dois pontos de abcissas diferentes, m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). O denominador mostra por que uma reta vertical não tem declive definido.

Desenvolver a forma anterior permite y = mx + p. Para verificar se um ponto pertence à reta, substitui as suas duas coordenadas na equação. Um único ponto não determina uma reta, pois há infinitas direções possíveis; dois pontos distintos determinam-na. Se as abcissas dos dois forem iguais, a equação é x = x₀.

A forma geral Ax + By + C = 0, com A e B não simultaneamente nulos, inclui também retas verticais. Se B ≠ 0, isolar y dá declive −A/B. Se B = 0, temos x = −C/A. Multiplicar toda a equação por uma constante não nula não altera a reta; por exemplo, 2x + y − 3 = 0 e 4x + 2y − 6 = 0 representam o mesmo conjunto de pontos.

Paralelas, perpendiculares e interseções

Duas retas não verticais são paralelas quando têm o mesmo declive; se as ordenadas na origem também coincidem, são a mesma reta. Duas verticais distintas são paralelas. Retas não paralelas cruzam-se num único ponto, que satisfaz as duas equações ao mesmo tempo. Encontrar esse ponto é resolver um sistema linear.

Para duas retas não verticais perpendiculares, os declives satisfazem m₁m₂ = −1. Uma forma de perceber o sinal é rodar uma direção (1, m) em 90°: ela torna-se (−m, 1), cujo declive, para m ≠ 0, é −1/m. Uma reta horizontal e uma vertical também são perpendiculares, mas esse caso não pode usar o produto de dois declives definidos.

Não concluas perpendicularidade só pelo desenho: escalas diferentes podem fazer um ângulo reto parecer oblíquo. Por exemplo, uma reta de declive 2 é perpendicular a outra de declive −1/2, não a uma de declive −2. O inverso e o sinal negativo desempenham ambos um papel. Para construir a perpendicular por um ponto, determina primeiro o novo declive e depois usa a forma ponto–declive.

Circunferência como lugar geométrico

Um lugar geométrico é um conjunto de pontos que satisfaz uma condição. A circunferência de centro C = (h, k) e raio r > 0 reúne os pontos P cuja distância a C é r. Aplicar a fórmula da distância e elevar ao quadrado dá:

A igualdade descreve a fronteira. A desigualdade ≤ r² descreve o disco fechado, que inclui interior e fronteira; a desigualdade < r² descreve só o interior. Na equação (x + 2)² + (y − 3)² = 25, o centro é (−2, 3) e o raio é 5. O número do segundo membro é o quadrado do raio, não o raio.

Podemos recuperar o centro de uma equação desenvolvida completando quadrados. Em x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0, temos (x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 − 12 = 0; logo (x − 3)² + (y + 2)² = 25. Centro (3, −2), raio 5. Se o segundo membro final fosse negativo, não haveria pontos reais; se fosse zero, haveria apenas o centro, uma situação degenerada.

A elipse: uma condição de distância que produz uma equação

Uma elipse é o conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos, os focos, é constante. Começa com focos F₁ = (−c,0) e F₂ = (c,0), com c ≥ 0, e soma de distâncias 2a, com a > c. O centro é a origem. O eixo maior mede 2a; escrevemos b² = a² − c², com b > 0. Aqui c é distância do centro a um foco, não o termo independente de uma reta.

Podemos deduzir a equação. Para P = (x,y), chama r₁ e r₂ às distâncias aos focos. Temos r₁ + r₂ = 2a. Pela fórmula da distância, r₁² − r₂² = (x + c)² − (x − c)² = 4cx. Fatorizando a diferença de quadrados, (r₁ − r₂)(r₁ + r₂) = 4cx, logo r₁ − r₂ = 2cx/a. Somando as duas relações e dividindo por 2, r₁ = a + cx/a.

Agora r₁² = (x + c)² + y² dá a² + 2cx + c²x²/a² = x² + 2cx + c² + y². Cancelamos 2cx e reorganizamos: a² − c² = x²(1 − c²/a²) + y². Usando b² = a² − c² e dividindo por b², chegamos a x²/a² + y²/b² = 1. Os comprimentos e as condições a > c garantem que b² é positivo.

Os vértices do eixo maior estão em (±a,0) e os extremos do menor em (0,±b). Se o eixo maior for vertical, a parcela com a² fica associada a y². Por exemplo, x²/9 + y²/25 = 1 tem semieixo maior 5 na vertical, semieixo menor 3 e focos (0,±4). O maior denominador não tem de estar sob x.

Para centro (x₀,y₀), substituímos x por x − x₀ e y por y − y₀. A elipse (x − 2)²/25 + (y + 1)²/9 = 1 tem centro (2,−1), semieixos 5 e 3 e c = √(25 − 9) = 4. Os focos são (−2,−1) e (6,−1). Ao verificar um ponto, substitui as duas coordenadas e confere a igualdade, em vez de julgar apenas pela aparência de uma figura.

Uma circunferência é o caso em que a = b e os dois focos coincidem no centro. Já uma elipse desenhada com escalas diferentes nos dois eixos pode parecer mais alongada ou menos alongada do que realmente é. Os valores geométricos devem ser retirados da equação e da escala, não de uma impressão visual.

Conjuntos de pontos e solução de problemas

Uma reta e uma circunferência podem não ter pontos comuns, tocar-se num só ponto ou cruzar-se em dois. Substituir a expressão da reta na equação da circunferência produz uma equação quadrática; o número de soluções reais traduz essas três possibilidades. Depois de encontrar uma coordenada, calcula a outra e verifica os pares nas duas equações.

Outro lugar geométrico útil é o conjunto dos pontos equidistantes de A e B, com A ≠ B. A condição d(P, A) = d(P, B), depois de quadrada, faz cancelar x² e y² e produz uma reta: a mediatriz do segmento AB. Geometricamente, essa reta passa pelo ponto médio e é perpendicular ao segmento. A álgebra e a geometria confirmam a mesma descrição.

Ao resolver uma situação, decide se procuras um ponto, uma distância, uma reta ou uma região. Uma equação pode descrever infinitos pontos, enquanto um sistema pode selecionar alguns deles. A resposta deve respeitar essa diferença: apresentar só a abcissa não identifica um ponto, e apresentar só um desenho não verifica uma condição numérica. As unidades finais dependem da grandeza pedida.

Exemplos resolvidos, sem saltar passos

Acompanha primeiro o raciocínio. Depois tapa a resolução e tenta reconstruí-la com as tuas palavras.

Agora, experimenta tu

Não há cronómetro. Escreve o que sabes, escolhe uma relação e justifica cada passo. As pistas e soluções ficam disponíveis quando precisares.

Erros que vale a pena evitar

Subtrair coordenadas pode dar uma distância negativa.

Diferenças orientadas podem ser negativas; a distância usa quadrados e raiz não negativa.

Duas retas perpendiculares têm declives opostos.

Para declives definidos e não nulos, são inversos com sinal contrário, não apenas opostos.

Em uma equação de circunferência, o segundo membro é o raio.

É r²; deve tirar-se a raiz positiva para obter r.

Circunferência e disco são o mesmo conjunto.

A circunferência é a fronteira; o disco inclui pontos interiores.