Limites e continuidade

Rever funções e proximidade

Uma função associa a cada entrada permitida exatamente uma saída. O domínio é o conjunto dessas entradas. Em f(x)=1/(x−3), x=3 está excluído: dividir por zero não define um número real. Um gráfico representa os pares (x,f(x)), não os valores que gostaríamos que existissem. Antes de calcular um limite, escreve o domínio e localiza o ponto de aproximação.

O símbolo x→a significa que escolhemos entradas arbitrariamente próximas de a, geralmente diferentes de a. Não descreve necessariamente um objeto a mover-se no tempo. Podemos aproximar 3 por 2,9; 2,99; 2,999 ou por 3,1; 3,01; 3,001. Essas duas listas ilustram lados diferentes, mas uma lista finita nunca prova sozinha o comportamento de todas as entradas próximas. A interpretação do limite exige controlar a vizinhança inteira dentro do domínio.

O significado de aproximar uma saída

Escrever lim_x→a f(x)=L significa que podemos tornar f(x) tão próximo de L quanto quisermos, restringindo suficientemente a distância de x a a, com x≠a. A precisão pretendida nas saídas determina a proximidade necessária nas entradas. Para f(x)=2x+1 perto de a=3, temos |f(x)−7|=2|x−3|. Para um erro inferior a 0,02 na saída, basta um erro inferior a 0,01 na entrada.

Esta relação mostra a lógica por trás da definição rigorosa: primeiro escolhe-se uma tolerância positiva ε nas saídas; depois procura-se uma tolerância positiva δ nas entradas. Se 0<|x−a|<δ implica |f(x)−L|<ε, o limite está controlado. Não precisas de decorar letras para começar, mas de compreender a ordem: garantir qualquer precisão desejada, e não apenas apresentar valores aparentemente próximos.

Os dois lados têm de concordar

O limite pela esquerda usa entradas menores do que a; o limite pela direita usa entradas maiores. Quando existem entradas do domínio arbitrariamente próximas dos dois lados, o limite bilateral finito existe precisamente quando os dois limites laterais existem e são iguais. Se uma função vale −2 à esquerda de 0 e 4 à direita, não há um único número que descreva ambas as aproximações. Atribuir f(0)=1, ou qualquer outro valor, não resolve esse salto.

Num extremo do domínio, a continuidade pode ser analisada apenas pelo lado permitido. Por exemplo, √x é contínua em 0 no domínio [0,+∞), usando aproximação pela direita. Não se devem inventar entradas negativas para exigir um limite bilateral real que o próprio domínio não permite. Ao responder, declara se estás a usar um limite bilateral ou uma aproximação relativa ao domínio.

Álgebra que revela o comportamento

Para polinómios, substituir a entrada dá o limite, porque somas e produtos preservam limites finitos. Para um quociente, a substituição direta também funciona se o limite do denominador for diferente de zero. Quando aparece 0/0, não obtiveste um valor nem demonstraste inexistência: encontraste uma forma indeterminada, que pede mais análise.

Em (x²−25)/(x−5), fatoriza o numerador: (x−5)(x+5). Para x≠5, a expressão coincide com x+5; portanto, perto de 5 o limite é 10. A simplificação não torna a expressão original definida em 5. Com raízes, multiplicar pelo conjugado pode revelar o mesmo tipo de cancelamento: (√(x+4)−2)/x = 1/(√(x+4)+2), para x≠0 no domínio. Agora o limite em 0 é 1/4.

Continuidade, reparação e valores intermédios

Uma função é contínua em a quando f(a) está definido, o limite apropriado existe e esse limite é igual a f(a). São três verificações distintas. Uma falha removível acontece quando o limite finito existe, mas o ponto foi omitido ou recebeu outro valor. Podemos construir uma extensão contínua atribuindo precisamente o valor do limite. Um salto não se repara mudando um único ponto, pois os comportamentos laterais já discordam.

A continuidade num intervalo permite uma conclusão poderosa: entre duas saídas f(a) e f(b), a função assume todos os valores intermédios, se for contínua em [a,b]. Assim, sinais opostos garantem pelo menos uma raiz entre os extremos. Não garantem uma única raiz nem fornecem automaticamente a sua posição exata. Um processo de bisseção reduz o intervalo, mantendo a mudança de sinal, e produz aproximações justificadas.

Crescimento sem limite e leitura responsável

Em 1/x², as saídas crescem sem barreira quando x se aproxima de 0 por qualquer lado. Escrevemos um limite infinito, +∞, para descrever esse crescimento. Infinito não é um número real que possa ser colocado na expressão. Em 1/x, o lado direito tende para +∞ e o esquerdo para −∞; não existe um limite bilateral comum, mesmo no sentido estendido. Uma assíntota vertical descreve crescimento ilimitado por pelo menos um lado.

Também existem funções que oscilam sem se aproximar de uma saída: sin(1/x) perto de 0 é um exemplo. Uma tabela ou calculadora pode esconder essas oscilações. Ao explicar uma solução, combina domínio, aproximação lateral e transformação algébrica legítima. Indica se o resultado é um número, um comportamento ilimitado ou ausência de limite. Essa classificação prepara o estudo da derivada, onde o quociente inicial também costuma apresentar 0/0.

Exemplos resolvidos, sem saltar passos

Acompanha primeiro o raciocínio. Depois tapa a resolução e tenta reconstruí-la com as tuas palavras.

Agora, experimenta tu

Não há cronómetro. Escreve o que sabes, escolhe uma relação e justifica cada passo. As pistas e soluções ficam disponíveis quando precisares.

Erros que vale a pena evitar

Um limite só existe se a função estiver definida no ponto.

O limite usa entradas próximas e distintas; a continuidade é que também exige o valor no ponto.

0/0 é igual a zero.

É uma forma indeterminada: funções diferentes podem produzir limites diferentes ou inexistentes.

Uma tabela com cinco valores prova o limite.

Valores numéricos sugerem; uma justificação deve controlar todo o comportamento próximo.