Gráficos e funções quadráticas

As bases: pontos, eixos e leitura de valores

Um referencial cartesiano tem dois eixos perpendiculares que se cruzam na origem O = (0, 0). A abcissa x indica a deslocação horizontal e a ordenada y a vertical. O par (−2, 3) significa duas unidades para a esquerda e três para cima. A ordem importa: (3, −2) é outro ponto. Cada eixo deve ter uma escala uniforme e, quando representa uma grandeza, uma unidade indicada.

Uma regra y = f(x) atribui a cada entrada x permitida uma única saída y. A notação f(2) pede o resultado quando a entrada é 2; não significa f multiplicado por 2. Se f(x) = x² − 4x + 3, então f(2) = 4 − 8 + 3 = −1. No gráfico, esse cálculo produz o ponto (2, −1).

Para ler f(1) num desenho, parte de 1 no eixo horizontal, procura o ponto do gráfico com essa abcissa e lê a sua ordenada. Para resolver f(x) = 1, faz o caminho diferente: procura todos os pontos do gráfico cuja altura é 1 e lê as abcissas. Uma entrada tem uma saída, mas uma saída pode corresponder a várias entradas.

O que torna uma função quadrática

Uma função quadrática tem expressão f(x) = ax² + bx + c, em que a, b e c são constantes reais e a ≠ 0. Se a fosse zero, desapareceria o termo quadrático. No domínio real completo, o seu gráfico é uma parábola. O termo x² faz com que a variação não seja constante: aumentar x em uma unidade não aumenta sempre f(x) pela mesma quantidade.

Começa pela regra mais simples, f(x) = x². As entradas −2, −1, 0, 1 e 2 dão as saídas 4, 1, 0, 1 e 4. As entradas opostas têm saídas iguais porque (−x)² = x². A tabela sugere simetria, e essa identidade prova-a para todos os reais, não apenas para os cinco pontos calculados.

Multiplicar x² por um a positivo conserva a abertura para cima; um a negativo reflete a curva e dá abertura para baixo. Aumentar |a| estica verticalmente os valores em relação à parábola de referência. O coeficiente c é f(0), a ordenada na origem. O coeficiente b influencia a posição do eixo, mas não é, sozinho, a abcissa do vértice nem um declive constante.

Três escritas para observar a mesma curva

A forma desenvolvida ax² + bx + c mostra os coeficientes e f(0). A forma fatorizada a(x − r₁)(x − r₂), quando existem raízes reais, revela os zeros r₁ e r₂. A forma canónica a(x − h)² + k revela o vértice (h, k) e o eixo x = h. Não são três funções diferentes quando as expressões se transformam umas nas outras por identidades.

Por exemplo, x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) = (x − 2)² − 1. Desenvolver cada produto confirma a igualdade. A primeira escrita dá f(0) = 3; a segunda mostra zeros 1 e 3; a terceira mostra vértice (2, −1). Usar a forma adequada reduz trabalho e torna visível a razão da resposta.

Na forma canónica, trocar x = h − t por x = h + t não altera o quadrado: ambos dão at² + k. Isto demonstra a simetria. Como um quadrado nunca é negativo, para a > 0 o menor valor é k, obtido em x = h. Para a < 0, o maior valor é k. Estas conclusões são exatas e não dependem da qualidade do desenho.

Completar o quadrado e construir a fórmula resolvente

Para completar x² + px, adicionamos e subtraímos (p/2)². A razão é que (x + p/2)² = x² + px + p²/4. Por exemplo, x² + 6x + 2 = (x + 3)² − 9 + 2 = (x + 3)² − 7. A compensação −9 mantém a expressão original; adicionar 9 sem o retirar mudaria a função.

No caso geral, põe a em evidência nos dois primeiros termos e completa o quadrado. O resultado é:

Para resolver a igualdade a zero, obtemos [x + b/(2a)]² = (b² − 4ac)/(4a²). Define-se Δ = b² − 4ac, o discriminante. Se Δ ≥ 0, tirar as duas possibilidades de sinal e isolar x conduz a x = (−b ± √Δ)/(2a). A escrita ± representa duas expressões, não uma operação adicional misteriosa.

Se Δ > 0 há duas raízes reais distintas; se Δ = 0 há uma raiz real dupla; se Δ < 0 não há raiz real, pois um quadrado real não pode ser negativo. A abcissa do vértice vem da anulação do quadrado: h = −b/(2a), e a sua ordenada é k = f(h).

Construir e conferir um esboço

Para esboçar uma parábola, identifica primeiro a concavidade, o vértice e o eixo. Calcula a ordenada na origem e as raízes, se existirem. Usa depois pares de pontos simétricos para conferir. Uma tabela com poucos valores não autoriza ligar pontos por segmentos: o gráfico quadrático é uma curva suave, definida por todos os valores do domínio.

Para f(x) = x² − 4x + 3, a tabela para x = 0, 1, 2, 3, 4 é 3, 0, −1, 0, 3. A função diminui até x = 2 e aumenta a partir daí. É positiva para x < 1 ou x > 3, nula nos extremos 1 e 3 e negativa entre as raízes. «Negativa» descreve a saída; não significa que a entrada tenha de ser negativa.

Uma janela gráfica demasiado pequena pode esconder uma raiz ou o vértice. Confere sempre o desenho com a expressão. O ponto onde a parábola corta o eixo vertical é (0, c), enquanto os pontos do eixo horizontal têm ordenada zero. Uma raiz é uma abcissa; o ponto de interseção correspondente tem duas coordenadas.

Máximos e mínimos com restrições reais

Um modelo quadrático precisa de variáveis e condições. Se um retângulo tem perímetro 24 m e um lado mede x metros, o outro mede 12 − x. A área, em m², é A(x) = x(12 − x) = −x² + 12x = −(x − 6)² + 36. Como os lados devem ser positivos, o domínio geométrico é 0 < x < 12.

O quadrado mostra A(x) ≤ 36, com igualdade em x = 6. O retângulo de maior área é, portanto, um quadrado de lado 6 m. Não precisamos de testar infinitos retângulos: a identidade e a não negatividade do quadrado justificam o máximo. Um valor como x = 15 é permitido na expressão algébrica, mas não representa este retângulo.

Se o domínio estiver limitado a um intervalo que não contém a abcissa do vértice, o extremo do problema pode ocorrer numa fronteira. A interpretação final deve indicar a grandeza procurada: 6 m é uma medida de lado, enquanto 36 m² é uma área. O gráfico ajuda a pensar, e a álgebra sustenta a conclusão.

Exemplos resolvidos, sem saltar passos

Acompanha primeiro o raciocínio. Depois tapa a resolução e tenta reconstruí-la com as tuas palavras.

Agora, experimenta tu

Não há cronómetro. Escreve o que sabes, escolhe uma relação e justifica cada passo. As pistas e soluções ficam disponíveis quando precisares.

Erros que vale a pena evitar

A raiz é o ponto completo do gráfico.

A raiz é a entrada x que dá saída zero; o ponto correspondente é (x, 0).

O coeficiente b é o declive da parábola.

Uma parábola não tem declive constante; b contribui para a localização do eixo.

Completar o quadrado permite adicionar uma constante sem compensar.

É preciso adicionar e subtrair a mesma constante para manter a expressão.

O vértice é sempre a solução de um problema aplicado.

É necessário conferir se pertence ao domínio admissível e qual grandeza se procura.