Gráficas y funciones cuadráticas

Las bases: puntos, ejes y lectura de valores

Un sistema de referencia cartesiano tiene dos ejes perpendiculares que se cruzan en el origen O = (0, 0). La abscisa x indica el desplazamiento horizontal y la ordenada y el vertical. El par (−2, 3) significa dos unidades a la izquierda y tres hacia arriba. El orden importa: (3, −2) es otro punto. Cada eje debe tener una escala uniforme y, cuando representa una magnitud, una unidad indicada.

Una regla y = f(x) asigna a cada entrada x permitida una única salida y. La notación f(2) pide el resultado cuando la entrada es 2; no significa f multiplicado por 2. Si f(x) = x² − 4x + 3, entonces f(2) = 4 − 8 + 3 = −1. En la gráfica, ese cálculo produce el punto (2, −1).

Para leer f(1) en un dibujo, parte de 1 en el eje horizontal, busca el punto de la gráfica con esa abscisa y lee su ordenada. Para resolver f(x) = 1, sigue un camino diferente: busca todos los puntos de la gráfica cuya altura es 1 y lee las abscisas. Una entrada tiene una salida, pero una salida puede corresponder a varias entradas.

Qué hace que una función sea cuadrática

Una función cuadrática tiene expresión f(x) = ax² + bx + c, donde a, b y c son constantes reales y a ≠ 0. Si a fuera cero, desaparecería el término cuadrático. En el dominio real completo, su gráfica es una parábola. El término x² hace que la variación no sea constante: aumentar x en una unidad no aumenta siempre f(x) en la misma cantidad.

Empieza por la regla más sencilla, f(x) = x². Las entradas −2, −1, 0, 1 y 2 dan las salidas 4, 1, 0, 1 y 4. Las entradas opuestas tienen salidas iguales porque (−x)² = x². La tabla sugiere simetría, y esa identidad la demuestra para todos los reales, no solo para los cinco puntos calculados.

Multiplicar x² por un a positivo conserva la apertura hacia arriba; un a negativo refleja la curva y da apertura hacia abajo. Aumentar |a| estira verticalmente los valores respecto a la parábola de referencia. El coeficiente c es f(0), la ordenada en el origen. El coeficiente b influye en la posición del eje, pero no es, por sí solo, la abscisa del vértice ni una pendiente constante.

Tres escrituras para observar la misma curva

La forma desarrollada ax² + bx + c muestra los coeficientes y f(0). La forma factorizada a(x − r₁)(x − r₂), cuando existen raíces reales, revela los ceros r₁ y r₂. La forma canónica a(x − h)² + k revela el vértice (h, k) y el eje x = h. No son tres funciones diferentes cuando las expresiones se transforman unas en otras mediante identidades.

Por ejemplo, x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) = (x − 2)² − 1. Desarrollar cada producto confirma la igualdad. La primera escritura da f(0) = 3; la segunda muestra ceros 1 y 3; la tercera muestra vértice (2, −1). Usar la forma adecuada reduce el trabajo y hace visible la razón de la respuesta.

En la forma canónica, cambiar x = h − t por x = h + t no altera el cuadrado: ambos dan at² + k. Esto demuestra la simetría. Como un cuadrado nunca es negativo, para a > 0 el menor valor es k, obtenido en x = h. Para a < 0, el mayor valor es k. Estas conclusiones son exactas y no dependen de la calidad del dibujo.

Completar el cuadrado y construir la fórmula general

Para completar x² + px, sumamos y restamos (p/2)². La razón es que (x + p/2)² = x² + px + p²/4. Por ejemplo, x² + 6x + 2 = (x + 3)² − 9 + 2 = (x + 3)² − 7. La compensación −9 mantiene la expresión original; sumar 9 sin restarlo cambiaría la función.

En el caso general, saca factor común a en los dos primeros términos y completa el cuadrado. El resultado es:

Para resolver la igualdad a cero, obtenemos [x + b/(2a)]² = (b² − 4ac)/(4a²). Se define Δ = b² − 4ac, el discriminante. Si Δ ≥ 0, tomar las dos posibilidades de signo y aislar x conduce a x = (−b ± √Δ)/(2a). La escritura ± representa dos expresiones, no una operación adicional misteriosa.

Si Δ > 0 hay dos raíces reales distintas; si Δ = 0 hay una raíz real doble; si Δ < 0 no hay raíz real, pues un cuadrado real no puede ser negativo. La abscisa del vértice procede de la anulación del cuadrado: h = −b/(2a), y su ordenada es k = f(h).

Construir y comprobar un esbozo

Para esbozar una parábola, identifica primero la concavidad, el vértice y el eje. Calcula la ordenada en el origen y las raíces, si existen. Usa después pares de puntos simétricos para comprobar. Una tabla con pocos valores no autoriza a unir puntos mediante segmentos: la gráfica cuadrática es una curva suave, definida por todos los valores del dominio.

Para f(x) = x² − 4x + 3, la tabla para x = 0, 1, 2, 3, 4 es 3, 0, −1, 0, 3. La función disminuye hasta x = 2 y aumenta a partir de allí. Es positiva para x < 1 o x > 3, nula en los extremos 1 y 3 y negativa entre las raíces. «Negativa» describe la salida; no significa que la entrada tenga que ser negativa.

Una ventana gráfica demasiado pequeña puede ocultar una raíz o el vértice. Comprueba siempre el dibujo con la expresión. El punto donde la parábola corta el eje vertical es (0, c), mientras que los puntos del eje horizontal tienen ordenada cero. Una raíz es una abscisa; el punto de intersección correspondiente tiene dos coordenadas.

Máximos y mínimos con restricciones reales

Un modelo cuadrático necesita variables y condiciones. Si un rectángulo tiene perímetro 24 m y un lado mide x metros, el otro mide 12 − x. El área, en m², es A(x) = x(12 − x) = −x² + 12x = −(x − 6)² + 36. Como los lados deben ser positivos, el dominio geométrico es 0 < x < 12.

El cuadrado muestra A(x) ≤ 36, con igualdad en x = 6. El rectángulo de área máxima es, por tanto, un cuadrado de lado 6 m. No necesitamos probar infinitos rectángulos: la identidad y la no negatividad del cuadrado justifican el máximo. Un valor como x = 15 está permitido en la expresión algebraica, pero no representa este rectángulo.

Si el dominio está limitado a un intervalo que no contiene la abscisa del vértice, el extremo del problema puede ocurrir en una frontera. La interpretación final debe indicar la magnitud buscada: 6 m es una medida de lado, mientras que 36 m² es un área. La gráfica ayuda a pensar, y el álgebra sustenta la conclusión.

Ejemplos resueltos, sin saltar pasos

Sigue primero el razonamiento. Después tapa la resolución e intenta reconstruirla con tus palabras.

Ahora, prueba tú

No hay cronómetro. Escribe lo que sabes, elige una relación y justifica cada paso. Las pistas y soluciones están disponibles cuando las necesites.

Errores que conviene evitar

La raíz es el punto completo de la gráfica.

La raíz es la entrada x que da salida cero; el punto correspondiente es (x, 0).

El coeficiente b es la pendiente de la parábola.

Una parábola no tiene pendiente constante; b contribuye a la ubicación del eje.

Completar el cuadrado permite sumar una constante sin compensarla.

Es necesario sumar y restar la misma constante para mantener la expresión.

El vértice siempre es la solución de un problema aplicado.

Hay que comprobar si pertenece al dominio admisible y qué magnitud se busca.