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Travail et conservation de l'énergie

6 étapes visuelles · 4 exemples résolus · 5 exercices avec corrigés

Commençons par voir l'idée.

Lors d'une descente, comment l'énergie initiale se répartit-elle entre mouvement et échauffement ?

Avance une étape à la fois. Modifie les valeurs et observe ce qui se passe.

Où va l'énergie ?h₀ = 5 mh = 5 mBarres à la même échelle relative ; piste et corps schématiques.
Description du dessin

Choisis le niveau de hauteur zéro. Le corps est initialement immobile en haut. La ligne en pointillés marque la hauteur zéro, au niveau d'arrivée. Nous comptabilisons l'énergie de l'ensemble formé par le corps, la Terre et les surfaces, y compris l'échauffement dû au contact. Repère le corps en haut et le niveau en pointillés sous la piste. Masse : 2 kg. Hauteur initiale : 5 m. Fraction convertie en énergie interne : 20 %.

Étape 1 sur 6

Choisis le niveau de hauteur zéro

Repère le corps en haut et le niveau en pointillés sous la piste.

Le corps est initialement immobile en haut. La ligne en pointillés marque la hauteur zéro, au niveau d'arrivée. Nous comptabilisons l'énergie de l'ensemble formé par le corps, la Terre et les surfaces, y compris l'échauffement provoqué par le contact.

Masse
2 kg
Hauteur initiale
5 m
Fraction convertie en énergie interne
20 %

Et si tu modifiais ceci ?

1 kg10 kg
1 m10 m
0 %60 %

Avant de continuer

Sur une énergie initiale de 100 J, 25% se transforme en énergie interne. Quelle énergie cinétique reste-t-il ?

Comparer à l'explication

Il reste 75 J d'énergie cinétique. Les 25 J figurent toujours dans le bilan comme augmentation de l'énergie interne ; l'énergie totale est de 100 J.

Tu décides quand marquer ce cours comme étudié.

Où va l'énergie ?

Fais défiler le dessin pour voir les détails.

Approfondir l'explication complèteLes bases, les principes, les exemples résolus et tous les exercices, à ton rythme.

Ce que tu vas comprendre

  • Calculer un travail et interpréter son signe et l'aire sur un graphique force-déplacement.
  • Établir et appliquer le théorème de l'énergie cinétique.
  • Choisir des niveaux de référence pour les énergies potentielles.
  • Utiliser la conservation de l'énergie avec ou sans dissipation.
  • Relier l'énergie, la puissance et le rendement.

Avant de commencer

Tu n'as pas besoin de tout connaître par cœur. L'explication reprend les idées nécessaires et montre comment elles s'articulent. Si une base reste peu claire, tu peux revenir à ces cours :

La composante qui accompagne le déplacement

Pour une force constante exercée sur une particule, W = Fd cos θ. F est la norme de la force en N ; d, la norme du déplacement en m ; θ, l'angle entre la force et le déplacement. Le produit F cos θ est la composante parallèle au déplacement. Une composante perpendiculaire ne contribue pas à ce travail, même si elle modifie la direction de la vitesse.

Le travail se mesure en joules : 1 J = 1 N·m. Il est positif lorsque la composante de la force accompagne le déplacement et négatif lorsqu'elle s'y oppose. Le signe exprime le sens du transfert dans le modèle énergétique, et non la présence d'un effort humain. Une force peut exister sans fournir de travail sur une portion donnée.

Si la force varie le long d'un trajet rectiligne, divise celui-ci en petites portions, estime la force parallèle multipliée par le déplacement sur chacune, puis additionne. Sur un graphique de la force parallèle en fonction de x, cette somme correspond à l'aire signée. Pour un ressort idéal, dont la force croît linéairement avec la déformation, une aire triangulaire apparaît à la place d'un rectangle.

Pourquoi mv²/2 apparaît-il ?

Considère une force résultante constante dans la direction du mouvement d'une masse m. D'après la deuxième loi, F résultante = ma. La cinématique à accélération constante donne v² − v₀² = 2aΔx. En multipliant par m/2, on obtient maΔx = mv²/2 − mv₀²/2. Le membre de gauche est le travail résultant.

Nous définissons l'énergie cinétique de translation par K = mv²/2. Ainsi, W résultant = ΔK. Bien que cette courte démonstration utilise une situation simple, le théorème a une validité plus générale pour une particule en mécanique newtonienne. Pour des corps étendus avec rotation et déformation, il faut inclure les formes d'énergie correspondantes.

La somme des travaux est essentielle. Si la traction fournit +80 J et le frottement −80 J, ΔK = 0, même s'il existe des transferts réels. Le théorème ne dit pas que le travail de n'importe quelle force isolée vaut ΔK. Il ne donne pas non plus directement la direction de la vitesse : K dépend du carré de sa valeur et est une grandeur scalaire.

Énergie potentielle et forces conservatives

Une force est conservative lorsque son travail entre deux points dépend uniquement des extrémités. On peut alors définir une énergie potentielle U telle que W de la force conservative = −ΔU. La gravité et la force d'un ressort idéal en sont des exemples. En revanche, le travail du frottement dépend généralement du trajet et ne se représente pas par une énergie potentielle unique de la position.

Près de la surface terrestre, avec g pratiquement constant, U de pesanteur = mgh. Dans ce cours, utilise g = 9,8 m/s². La référence h = 0 est choisie par commodité ; modifier cette référence ajoute la même constante aux valeurs et ne change pas ΔU. L'énergie potentielle appartient à la configuration du système corps-Terre, même lorsque nous abrégons en disant « énergie du corps ».

Pour un ressort idéal obéissant à F = −kx, x est la déformation par rapport à la longueur d'équilibre et k la constante de raideur en N/m. Le travail nécessaire pour le déformer de manière quasi statique est l'aire du triangle sur un graphique force appliquée-déformation : U élastique = kx²/2. Cette relation exige des déformations dans le régime élastique linéaire.

Construire une équation de conservation

Nous décomposons W résultant = W des forces conservatives + W autres. Puisque W des forces conservatives = −ΔU, il en résulte ΔK + ΔU = W autres. Si le travail des autres forces est nul, K + U reste constant. C'est la conservation de l'énergie mécanique dans le modèle choisi.

Une rampe sans frottement peut exercer une réaction normale importante tout en conservant l'énergie mécanique, car cette réaction est perpendiculaire au déplacement en chaque point et ne fournit aucun travail sur la particule. La forme de la rampe peut modifier les forces et la durée de descente sans changer la vitesse finale pour une même différence de hauteur et une même énergie initiale.

L'égalité K initiale + U initiale = K finale + U finale doit être accompagnée de ses hypothèses. Une résistance de l'air négligeable, un support fixe et l'absence d'autres transferts en sont des exemples. Ne confonds pas la condition « sans frottement » avec une garantie automatique : un moteur extérieur peut encore fournir de l'énergie au système.

Lorsque l'énergie mécanique diminue

Le frottement peut transformer l'énergie mécanique en énergie interne des corps en contact. Pour une force de frottement cinétique constante opposée à un glissement de distance d, le travail vaut −fd. L'énergie totale d'un système suffisamment large reste conservée, mais K + U peut diminuer.

Écris un bilan explicite : énergie mécanique initiale + énergie fournie = énergie mécanique finale + augmentation de l'énergie interne + autres sorties. Toute l'énergie interne produite ne reste pas dans un seul corps ; la répartition dépend des matériaux et des conditions. Dire seulement « il y a eu une perte » doit signifier une perte d'énergie mécanique utile dans le modèle, et non une destruction d'énergie.

Ne compte pas deux fois le même transfert. Tu peux traiter le frottement comme un travail extérieur sur le corps, ou inclure les surfaces dans le système et suivre l'énergie interne. Le choix de la frontière détermine les termes. Une équation physiquement claire est plus importante que l'emploi systématique d'une formule portant toujours les mêmes noms.

Puissance, rendement et vérification

La puissance moyenne vaut P moyenne = E transférée/Δt, en watts. Lorsqu'une force et la vitesse de son point d'application sont connues, la puissance instantanée vaut P = Fv cos θ. Cette seconde relation montre qu'une même force peut transférer de l'énergie à des rythmes différents selon la vitesse.

Le rendement η est l'énergie utile/l'énergie reçue, ou la puissance utile/la puissance reçue lorsqu'elles sont comparées dans le même régime. Il est sans unité et s'exprime souvent en pourcentage. Un rendement de 75% indique que, pour 100 J reçus, 75 J correspondent à la sortie définie comme utile ; le reste n'a pas disparu.

Vérifie les unités, le signe et l'ordre de grandeur. Une énergie cinétique de translation ne peut pas être négative ; une énergie potentielle peut l'être selon la référence. Un nombre négatif sous la racine carrée signale généralement une hypothèse impossible ou une erreur de bilan. Si la hauteur manque, cherche des différences de hauteur ; si le temps manque, l'énergie peut être la voie la plus courte ; si la question porte sur la durée, tu auras peut-être encore besoin de la dynamique.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

Exemple 1

Force oblique et frottement

Une force de 40 N fait un angle de 60° avec un déplacement horizontal de 3,0 m. Un frottement de 8 N agit en sens opposé. Calcule les travaux et ΔK.
  1. La composante parallèle de la force vaut 40 cos 60° = 20 N ; son travail vaut 20 × 3 = 60 J.
  2. Le frottement fournit W frottement = −8 × 3 = −24 J. En supposant un déplacement horizontal et les autres forces verticales, celles-ci fournissent un travail nul.
  3. La somme vaut 60 − 24 = 36 J, donc ΔK = +36 J.
Résultat
Travail de la force appliquée : 60 J ; frottement −24 J ; augmentation de K de 36 J.
Vérifier le résultat
Utiliser 40 × 3 ignorerait la direction. L'augmentation de l'énergie cinétique est inférieure à l'énergie transférée par la force appliquée.

Exemple 2

Descente sans frottement

Un chariot part du repos et perd 1,8 m d'altitude en descendant, sans frottement ni résistance de l'air. Calcule la vitesse finale, avec g = 9,8 m/s².
  1. Choisis U finale = 0 et utilise K initiale = 0.
  2. La conservation donne mg × 1,8 = mv²/2. La masse se simplifie.
  3. v = √(2 × 9,8 × 1,8) = √35,28 ≈ 5,94 m/s.
Résultat
v ≈ 5,9 m/s.
Vérifier le résultat
La vitesse dépend de la différence de hauteur, et non de la longueur de la rampe dans ce modèle. Une masse plus grande gagne davantage de K, mais a le même v.

Exemple 3

Ressort et énergie cinétique

Un ressort idéal de k = 200 N/m est comprimé de 0,15 m et libère un bloc de 0,50 kg sur un sol sans frottement. Quelle est la vitesse lorsque le ressort revient à l'équilibre ?
  1. L'énergie initialement stockée vaut U = kx²/2 = 200 × 0,15²/2 = 2,25 J.
  2. À l'équilibre du ressort, cette énergie se transforme en K du bloc dans le modèle sans pertes.
  3. 2,25 = 0,50v²/2, donc v² = 9 et v = 3,0 m/s.
Résultat
v = 3,0 m/s.
Vérifier le résultat
L'énergie est positive en compression comme en extension, car elle dépend de x². La force du ressort n'est pas constante pendant la détente.

Exemple 4

Énergie reçue par un moteur

Un moteur reçoit 1200 J en 5,0 s et fournit 900 J de travail utile. Détermine le rendement et les puissances moyennes.
  1. Le rendement vaut η = 900/1200 = 0,75 = 75%.
  2. La puissance reçue vaut 1200/5 = 240 W ; la puissance utile vaut 900/5 = 180 W.
  3. La différence d'énergie est de 300 J, ce qui correspond à une puissance moyenne de 60 W dans d'autres transformations ou sorties.
Résultat
η = 75% ; puissance reçue 240 W ; utile 180 W.
Vérifier le résultat
180/240 = 0,75 confirme le rendement. L'énergie utile et l'énergie restante totalisent les 1200 J reçus.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Exercice 1

Une force résistante de 6 N agit sur 7 m. Quel est son travail ?
Un indice
L'angle avec le déplacement vaut 180°.
Voir le corrigé commenté
W = 6 × 7 × cos 180° = −42 J. Le signe négatif indique que cette force retire de l'énergie cinétique au corps dans le bilan des travaux ; d'autres forces peuvent fournir de l'énergie en même temps.

Exercice 2

Un objet de 3 kg monte de 0,80 m. Calcule ΔU avec g = 9,8 m/s².
Un indice
Seule la différence de hauteur compte.
Voir le corrigé commenté
ΔU = mgΔh = 3 × 9,8 × 0,80 = 23,52 J, soit environ 24 J. Le résultat est indépendant du niveau choisi comme zéro et positif puisque la hauteur augmente.

Exercice 3

Une machine transfère 3,0 kJ en 12 s. Quelle est la puissance moyenne ?
Un indice
Convertis les kilojoules avant de diviser.
Voir le corrigé commenté
3,0 kJ = 3000 J. P moyenne = 3000/12 = 250 W. Cela indique 250 J par seconde en moyenne ; cela ne prouve pas que la puissance était constante à chaque instant.

Exercice 4

Un corps de 4 kg passe de 2 à 5 m/s. Quel est le travail résultant ?
Un indice
Calcule la différence, et non le rapport, des énergies cinétiques.
Voir le corrigé commenté
W résultant = 4(5² − 2²)/2 = 42 J. Il est positif car la vitesse augmente. L'énergie initiale vaut 8 J et la finale 50 J ; la différence confirme 42 J.

Exercice 5

Un bloc de 2 kg glisse à 4 m/s et s'arrête à cause d'un frottement constant de 8 N. Quelle est la distance ?
Un indice
Le travail du frottement est égal à la variation négative de K.
Voir le corrigé commenté
K initiale = 2 × 4²/2 = 16 J et K finale = 0. Donc −8d = −16, soit d = 2 m. Le résultat positif est cohérent avec une distance ; l'énergie interne produite dans l'ensemble vaut 16 J.

Les erreurs à éviter

Une force importante fournit toujours beaucoup de travail.
Il faut tenir compte du déplacement et de la composante parallèle.
L'énergie potentielle a obligatoirement son zéro au sol.
Le zéro est une référence choisie ; les différences en sont indépendantes.
Avec le frottement, l'énergie cesse de se conserver.
L'énergie mécanique peut diminuer tandis que l'énergie interne augmente.
La puissance et l'énergie ont la même unité.
L'énergie s'exprime en J ; la puissance en J/s ou W.

L'essentiel à retenir

  • Le travail est un transfert et peut porter un signe.
  • W résultant = ΔK utilise tous les travaux.
  • Les forces conservatives permettent de définir U.
  • La conservation mécanique exige l'absence de transferts qui la modifient.
  • La dissipation transforme l'énergie, elle ne la détruit pas.
  • La puissance mesure le rythme du transfert.

Si tu n'arrives pas encore à expliquer l'une de ces idées, reviens à la section correspondante et refais un exemple. Identifier la difficulté fait partie de l'étude.

Vois l'idée en mouvement

Tu peux maintenant modifier les valeurs, observer le graphique et comparer l'expérience aux résultats que tu as calculés.

Expérimenter dans le laboratoire

Références pour approfondir

Texte et exemples préparés pour ce parcours. Ces sources permettent de vérifier les principes et de poursuivre l'étude :

L'organisation par classe est une proposition d'étude. La révision pédagogique par des enseignants reste une étape du projet.