Vecteurs et mouvement à une dimension

Les grandeurs qui nécessitent une orientation

Une masse de 2 kg ou une durée de 6 s est déterminée par sa valeur et son unité : ce sont des scalaires. Un déplacement de 6 m nécessite une orientation : dans quel sens a-t-il eu lieu ? Le déplacement, la vitesse, l'accélération et la force sont des vecteurs. Un vecteur possède une norme, une direction et un sens. La direction peut être horizontale ; ses deux sens peuvent être la droite et la gauche.

Nous représentons les vecteurs par des flèches. La longueur de la flèche, à une échelle annoncée, représente la norme ; la pointe représente le sens. Sur une droite, il suffit de choisir un axe orienté et de travailler avec des composantes signées. Si le sens positif est vers la droite, v = −4 m/s signifie une vitesse de norme 4 m/s vers la gauche.

La norme d'un vecteur n'est jamais négative. Sa composante peut l'être, car elle dépend de l'orientation choisie. Inverser l'axe change les signes des composantes sans modifier l'expérience physique. C'est pourquoi tu dois déclarer l'axe avant d'utiliser les équations, au lieu d'ajouter les signes intuitivement à la fin.

Additionner des vecteurs de même direction

On peut dessiner la somme vectorielle en plaçant l'origine d'une flèche à l'extrémité de la précédente. La résultante relie l'origine initiale à l'extrémité finale. Déplacer une flèche parallèlement à elle-même, sans changer sa longueur ni son orientation, permet cette construction pour les vecteurs libres utilisés dans cette description du mouvement.

Sur une droite, la construction équivaut à la somme algébrique des composantes. Un déplacement de +9 m suivi de −4 m donne +5 m. La distance parcourue vaut 13 m et n'est pas une somme vectorielle : elle additionne les normes des portions. La soustraction A − B est la somme A + (−B) ; le vecteur −B a la même norme que B et un sens opposé.

Lorsque les vecteurs ne sont plus colinéaires, nous ne pouvons pas simplement additionner leurs normes. Un déplacement de 3 m vers l'est suivi de 4 m vers le nord a une résultante de norme 5 m selon le théorème de Pythagore, et non 7 m. Dans ce cours, l'analyse dynamique reste à une dimension, mais cette distinction prépare le mouvement dans le plan.

Position, vitesse et accélération

Choisis x(t) comme position en mètres et t comme temps en secondes. Le déplacement Δx est la position finale moins la position initiale. La vitesse moyenne sur l'intervalle vaut Δx/Δt. La vitesse instantanée est le taux de variation de la position à cet instant, représenté par la pente de la tangente au graphique x(t). La valeur absolue de la vitesse instantanée est |v|.

L'accélération moyenne vaut Δv/Δt. L'accélération instantanée est le taux de variation local de la vitesse et se mesure en m/s². Sur un graphique v(t), la pente locale représente l'accélération. Sur un graphique a(t), l'aire signée donne la variation de vitesse. Observe l'enchaînement : chaque grandeur décrit le changement de la précédente.

Être à x = 0 n'impose pas v = 0. Avoir v = 0 à un instant n'impose pas a = 0 : un objet lancé verticalement vers le haut s'arrête instantanément au point le plus haut, mais reste accéléré par la gravité. Une condition à un instant n'équivaut pas à une condition sur tout un intervalle.

Construire le modèle à accélération constante

Si l'accélération a est constante, chaque intervalle de temps égal produit la même variation de vitesse. La définition a = (v − v₀)/Δt peut se réorganiser : v = v₀ + aΔt. v₀ est la vitesse à l'instant initial t₀ ; Δt = t − t₀. Ce n'est que si t₀ = 0 que nous pouvons écrire simplement t à la place de Δt sans perdre d'information.

Le graphique v(t) est une droite. La vitesse moyenne du mobile sur cet intervalle vaut (v₀ + v)/2, car l'aire du trapèze est sa hauteur moyenne multipliée par sa base. Donc Δx = [(v₀ + v)/2]Δt. En remplaçant v = v₀ + aΔt, nous obtenons x = x₀ + v₀Δt + a(Δt)²/2.

Nous pouvons aussi éliminer le temps. En multipliant v − v₀ = aΔt par v + v₀ et en utilisant 2Δx = (v + v₀)Δt, il vient v² − v₀² = 2aΔx. Cette expression est utile lorsque nous ne connaissons pas la durée. Les trois relations exigent une accélération constante ; elles ne sont pas des définitions universelles pour tous les mouvements.

La géométrie des graphiques vérifie l'algèbre

Avec une accélération constante non nulle, x(t) est une parabole, v(t) une droite inclinée et a(t) une ligne horizontale. Le signe de a détermine la concavité du graphique x(t). Pourtant, une parabole croissante peut avoir a négatif : elle commence à monter de moins en moins vite jusqu'à atteindre une pente nulle.

L'aire signée sous v(t) est le déplacement. Si v traverse zéro, divise l'intervalle à cet instant. Pour la distance, additionne les valeurs absolues des deux aires. Ne prends pas simplement la valeur absolue de l'aire totale : cela effacerait le trajet parcouru avant l'inversion.

Un tableau calculé à des instants successifs aide à reconnaître les régularités. Avec a constante et des pas de 1 s, les différences de v sont égales. Les différences de x ne le sont pas, car la position varie de manière quadratique. Le graphique n'est pas une décoration ajoutée ensuite : il peut révéler un changement de sens qui resterait caché dans un calcul sans interprétation.

Signes, arrêts et validité

Un corps ralentit lorsque la vitesse et l'accélération sont de sens opposés ; il gagne en vitesse lorsqu'elles sont de même sens. « Accélération négative » indique uniquement le sens sur l'axe choisi. Un véhicule se déplaçant vers la gauche peut gagner en vitesse avec v et a tous deux négatifs.

Pour trouver un arrêt, résous v = 0. Vérifie ensuite que l'instant calculé appartient à l'intervalle physique. Une équation à accélération négative peut prévoir que le véhicule inverse son sens après l'arrêt ; lors d'un freinage réel, le conducteur peut modifier la force et l'accélération cesse d'être la même. Le modèle doit s'arrêter là où les conditions changent.

En chute libre près de la Terre, en négligeant l'air, l'accélération verticale est approximativement constante. Avec l'axe positif vers le haut, a = −g et g = 9,8 m/s² dans ce cours. La masse n'intervient pas dans les équations de ce modèle. Pour des objets soumis à une résistance de l'air importante, comme une feuille dépliée, l'hypothèse ne décrit pas correctement l'expérience.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

Un vecteur négatif a une norme négative.

La composante peut être négative ; la norme est toujours positive ou nulle.

v = v₀ + at convient pour toute accélération.

La forme avec le produit at exige a constante sur l'intervalle.

La distance est toujours la valeur absolue du déplacement.

S'il y a une inversion, additionne séparément les longueurs des portions.