Forces, énergie et quantité de mouvement

Trois questions, trois outils

Les lois de Newton relient les interactions et l'accélération, permettant de trouver les forces, les tensions et l'évolution temporelle lorsque le modèle est connu. Le théorème de l'énergie cinétique relie la somme des travaux à la variation d'énergie cinétique. L'impulsion relie une force appliquée au fil du temps à la variation de quantité de mouvement. Chaque méthode met en évidence une structure différente du problème.

La première décision est toujours de définir le système. Si nous étudions seulement un chariot dans une collision, la force de l'autre est extérieure. Si nous étudions la paire, les forces de collision sont intérieures et apparaissent par paires opposées. La quantité de mouvement totale de ce système peut se conserver même si celle de chaque chariot change fortement. Nous pouvons aussi devoir inclure la Terre pour comptabiliser l'énergie potentielle de pesanteur ou la quantité de mouvement transférée au sol. Une conservation n'a de sens qu'après avoir déclaré cette frontière.

La quantité de mouvement est une grandeur vectorielle

Pour une masse constante en régime classique, p=mv. L'unité est kg·m/s, équivalente à N·s. Le sens est celui de la vitesse. Deux corps de même vitesse en valeur absolue peuvent avoir des quantités de mouvement opposées ; additionner les normes effacerait cette information. À une dimension, choisis un sens positif et utilise des vitesses signées. À deux dimensions, additionne les composantes séparément.

La deuxième loi peut aussi s'écrire ΣFext=dp/dt. Pour un corps de masse constante, cela redonne ma. Cette forme prépare des généralisations, mais les systèmes où la masse entre ou sort exigent de comptabiliser le flux de quantité de mouvement ; il ne suffit pas de dériver mv et d'appeler n'importe quel terme une force de propulsion. Dans les problèmes suivants, nous considérons des corps et des systèmes de masse fixe, des vitesses très inférieures à c et des référentiels approximativement inertiels.

Impulsion et durée de contact

L'impulsion d'une force vaut J=∫F dt. Si la force est approximativement constante, J=FΔt ; en utilisant une force moyenne vectorielle, la même expression donne l'impulsion totale sur l'intervalle. D'après le théorème de l'impulsion, Jext=Δp. Sur un graphique d'une composante de force en fonction du temps, l'impulsion de cette composante est l'aire signée.

Pour une même variation de quantité de mouvement, augmenter la durée de décélération réduit la norme de la force moyenne. C'est pourquoi des matériaux déformables peuvent modifier les forces d'impact. La force maximale n'est pas nécessairement égale à la moyenne et dépend de la forme de l'impulsion. Une valeur moyenne calculée ne renseigne pas à elle seule sur les dommages et ne permet pas d'ignorer les détails de l'interaction. Le théorème décrit le transfert global de quantité de mouvement sans exiger une force constante à chaque instant.

Quand la quantité de mouvement totale se conserve

En additionnant les quantités de mouvement d'un système, les forces intérieures newtoniennes s'annulent par paires. La variation de quantité de mouvement totale est égale à l'impulsion extérieure totale. Si celle-ci est nulle, la quantité de mouvement se conserve ; si elle est faible devant les impulsions intérieures pendant une courte collision, la conservation peut être une bonne approximation sur cet intervalle.

Une force extérieure n'a pas besoin d'être littéralement nulle à chaque instant pour avoir une impulsion totale nulle ; le critère est le résultat intégré. Il peut aussi y avoir conservation d'une seule composante. Dans une collision sur une table horizontale, l'impulsion extérieure horizontale peut être négligeable alors que le poids et la réaction normale agissent verticalement. Déclarer la conservation du vecteur exige d'analyser toutes les directions ; ne conserver qu'une composante exige d'énoncer cette limite. La quantité de mouvement ne se conserve pas automatiquement parce qu'il y a eu une collision.

Énergie cinétique et types de collision

Dans une collision élastique, l'énergie cinétique totale se conserve, en plus de la quantité de mouvement lorsque l'impulsion extérieure est négligeable. Dans une collision inélastique, une partie de l'énergie cinétique se transforme en déformation, énergie interne, son ou autres formes. L'énergie totale reste conservée. Dans une collision parfaitement inélastique, les corps restent ensemble et ont la même vitesse finale.

La quantité de mouvement et l'énergie cinétique ne sont pas interchangeables : la première dépend linéairement de la vitesse et conserve le sens ; la seconde dépend du carré de la valeur de la vitesse et est scalaire. Dans une collision parfaitement inélastique à une dimension, v finale=(m₁v₁+m₂v₂)/(m₁+m₂). Cette équation vient de la conservation de la quantité de mouvement, et non de l'énergie cinétique. Si tu l'appliques puis imposes la conservation de K sans autre condition, tu créeras une contradiction physique. La perte de K doit être calculée en comparant les états.

Combiner les étapes sans mélanger les hypothèses

Dans un problème de collision suivie d'une montée, sépare les étapes. Pendant le bref contact, conserve la quantité de mouvement si l'impulsion extérieure appropriée est négligeable. Ensuite, pendant la montée sans dissipation, utilise la conservation de l'énergie mécanique pour relier la vitesse et la hauteur. Ne conserve pas l'énergie mécanique à travers une collision inélastique, ni la quantité de mouvement d'un corps isolé pendant une montée sous l'effet de la gravité.

Le centre de masse a une position pondérée par les masses et une vitesse Vcm=p totale/M pour une masse totale fixe. Les forces intérieures peuvent transformer les mouvements relatifs sans modifier Vcm si la résultante extérieure est nulle. Cette vision aide à comprendre le recul et les collisions, mais ne supprime pas l'étude de l'énergie interne. Pour terminer, vérifie la quantité de mouvement avant et après, le bilan énergétique et la plausibilité des signes. Une vitesse finale entre les vitesses initiales est attendue lorsque deux corps restent ensemble sans impulsion extérieure, car c'est une moyenne pondérée par des masses positives.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

La quantité de mouvement se conserve dans toute collision.

Cela exige une impulsion extérieure totale nulle ou négligeable sur la composante analysée.

Une collision inélastique viole la conservation de l'énergie.

L'énergie totale se conserve ; une partie de l'énergie cinétique change de forme.

L'impulsion est toujours la force maximale multipliée par la durée.

C'est l'intégrale de la force ou la force moyenne multipliée par la durée ; la maximale ne remplace pas la moyenne.