Résonance et applications des ondes

Revoir le mouvement harmonique et la fréquence propre

Un ressort idéal exerce une force de rappel F=−kx, où x est le déplacement par rapport à l'équilibre et k la raideur en N/m. Le signe négatif indique un sens opposé au déplacement. D'après la deuxième loi, mx″=−kx. La fonction x=A cos(ω₀t+φ) satisfait cette équation si ω₀²=k/m. La pulsation propre vaut ω₀=√(k/m), en rad/s, et la fréquence en hertz vaut f₀=ω₀/(2π).

L'amplitude A est l'écart maximal à l'équilibre ; la phase φ indique l'état initial. Deux oscillations peuvent avoir la même fréquence et des amplitudes différentes, ou la même amplitude et des phases différentes. L'énergie mécanique idéale alterne entre énergie cinétique et potentielle élastique, avec un total kA²/2. Le modèle est linéaire : il suppose un ressort en régime élastique proportionnel et une masse effective constante. De grands déplacements ou des matériaux hors de ce régime peuvent exiger un autre modèle.

Amortissement : l'énergie quitte le mouvement

Une force d'amortissement visqueux peut être approchée par −bx′, avec b en kg/s. Sans excitation extérieure, l'équation est mx″+bx′+kx=0. La puissance de cette force vaut −b(x′)²≤0, montrant qu'elle retire de l'énergie mécanique et la transfère vers d'autres formes. Cela explique la diminution d'amplitude sans affirmer que l'énergie totale a disparu.

Avec un faible amortissement, le système continue d'osciller et l'amplitude décroît. Dans le cas sous-amorti, la pulsation libre amortie vaut √(ω₀²−(b/2m)²), inférieure à ω₀. Si b=2√(mk), on a l'amortissement critique, limite entre oscillation et retour non oscillant ; au-delà, le retour est suramorti. Le comportement dépend aussi des conditions initiales. La fréquence propre sans amortissement et la fréquence libre amortie ne doivent pas être confondues simplement parce qu'elles peuvent être proches quand b est petit.

Une force périodique change la question

Applique maintenant F(t)=F₀ cos(ωt). L'équation devient mx″+bx′+kx=F₀ cos(ωt). La pulsation ω est choisie par l'agent extérieur, tandis que ω₀ appartient au modèle masse–ressort. La réponse initiale comprend un régime transitoire dépendant des conditions initiales. Avec un amortissement positif, ce transitoire décroît et laisse un régime permanent à la pulsation imposée.

En régime permanent, on écrit x=A(ω)cos(ωt−δ), où δ est le retard de phase. Aux basses fréquences, le ressort suit la force de manière presque quasi statique. Aux très hautes fréquences, l'inertie empêche les grands déplacements et la réponse retarde de presque un demi-tour. Entre ces régimes, une grande amplitude peut apparaître. La croissance n'est pas une création d'énergie : la force extérieure fournit du travail à chaque cycle et l'amortissement dissipe de l'énergie. Le régime permanent s'établit lorsque les moyennes de ces transferts s'équilibrent.

D'où vient l'amplitude et où se situe le pic

Remplacer la réponse sinusoïdale dans l'équation produit une partie proportionnelle au déplacement et une autre en quadrature, associée à la vitesse. Leurs coefficients sont (k−mω²)A et bωA. Puisque ces parties sont déphasées d'un quart de cycle, l'amplitude de la force satisfait F₀²=A²[(k−mω²)²+(bω)²]. Ainsi :

Le déplacement maximal dépend de tout le dénominateur, et pas seulement de k−mω². Pour une force d'amplitude fixe et un amortissement visqueux, le pic de déplacement se produit à ωp=√(ω₀²−b²/(2m²)), lorsque b²<2mk. Si l'amortissement est plus grand, ce pic intérieur positif n'existe pas. Il n'y a donc pas de règle universelle plaçant tout maximum d'amplitude exactement à ω₀. Avec un faible amortissement, ωp est proche de ω₀ et l'approximation convient souvent.

Phase et énergie : quelle réponse mesurons-nous ?

La phase satisfait tanδ=bω/(k−mω²), en choisissant le bon quadrant pour 0≤δ≤π. À ω=ω₀, δ=π/2 pour b>0 : le déplacement retarde d'un quart de cycle par rapport à la force. La vitesse est en phase avec la force et le transfert moyen d'énergie est efficace. Utiliser seulement l'arctangente sans considérer le signe du dénominateur peut produire une phase erronée au-dessus de ω₀.

La puissance moyenne dissipée vaut bω²A²/2. Pour ce modèle et F₀ fixe, elle atteint son maximum à ω=ω₀, même si le pic de déplacement se situe à une pulsation légèrement inférieure. Cette différence apprend à préciser la grandeur observée : déplacement, vitesse ou puissance. Un amortissement plus grand réduit et élargit la réponse en déplacement. Un pic étroit permet de sélectionner des fréquences, mais peut rendre le système sensible aux petites variations. Sans amortissement et avec une excitation exactement à la fréquence propre, il n'y a pas d'amplitude permanente finie : le modèle idéal prévoit une croissance que les systèmes réels finissent par limiter.

Ondes stationnaires et modes

Sur une corde à extrémités fixes, la réflexion et la superposition permettent des modes avec des nœuds aux extrémités. n demi-longueurs d'onde tiennent sur L : λₙ=2L/n, avec n entier positif. Si la vitesse de l'onde vaut v, fₙ=nv/(2L). Le mode fondamental a n=1 ; les modes suivants sont des harmoniques entiers dans ce modèle idéal de corde uniforme.

Une excitation proche d'un mode peut produire une réponse forte si elle se couple à cette figure et si la dissipation ne la supprime pas. Faire coïncider une fréquence ne suffit pas : la position d'application de la force et la symétrie comptent. Une excitation appliquée au nœud d'un mode donné peut ne se coupler que faiblement à ce mode. Les colonnes d'air aux conditions d'extrémité différentes ont des séquences de modes différentes. Les instruments de musique et les systèmes de contrôle des vibrations exploitent ou limitent ces réponses, en respectant toujours la géométrie, la dissipation et l'amplitude de fonctionnement.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

La résonance fait surgir de l'énergie de rien.

L'excitation fournit l'énergie ; la dissipation et la non-linéarité limitent la réponse.

La fréquence propre et tout pic d'amplitude sont identiques.

Le pic dépend de l'amortissement, de l'excitation et de la grandeur observée.

Une onde stationnaire est une absence de mouvement sur toute la corde.

Les nœuds restent immobiles, mais les ventres oscillent ; la figure spatiale demeure.