Géométrie analytique dans le plan

Revoir les coordonnées et choisir une échelle

Dans un repère cartésien orthonormé, les axes sont perpendiculaires et utilisent la même unité de longueur. Le mot orthonormé est important : les formules métriques usuelles supposent cette géométrie. Si un graphique utilise des échelles visuelles différentes sur les axes, il peut représenter correctement les coordonnées, mais les longueurs et les angles apparents sont déformés.

Le point A = (−2, 4) a pour abscisse −2 et pour ordonnée 4. Le déplacement de A vers B = (3, 1) a pour composantes 3 − (−2) = 5 à l'horizontale et 1 − 4 = −3 à la verticale. Les composantes peuvent être négatives parce qu'elles indiquent un sens ; la distance entre les points est une longueur et ne peut pas être négative.

Pour les problèmes de localisation, choisis l'origine, les axes et l'unité avant d'écrire les nombres. Une carte peut utiliser les kilomètres et un plan les mètres. Le choix du repère change les coordonnées, mais ne change pas la distance géométrique entre deux points lorsque la transformation conserve les longueurs. Un bon choix simplifie les calculs sans modifier le problème.

Établir la distance et le milieu

Si A = (x₁, y₁) et B = (x₂, y₂), les projections horizontale et verticale forment un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit ont pour longueurs |x₂ − x₁| et |y₂ − y₁|. D'après le théorème de Pythagore, la distance vaut :

Les carrés font qu'échanger A et B ne change pas le résultat : d(A, B) = d(B, A). Si la distance est nulle, les deux différences doivent être nulles et les points coïncident. Soustraire les coordonnées dans le même ordre dans les deux composantes évite les confusions, bien que les carrés éliminent le signe dans le résultat final.

Le milieu M partage le segment en deux parties égales et a pour coordonnées M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Chaque coordonnée est la moyenne des coordonnées correspondantes. Pour A = (−2, 4) et B = (3, 1), M = (0,5; 2,5), en utilisant le point-virgule pour séparer les coordonnées à virgule décimale. La différence de A à M est la moitié de celle de A à B, ce qui justifie la formule et l'égalité des deux distances.

Équations de droites : plusieurs formes

Une droite non verticale passant par A = (x₀, y₀) et de pente m satisfait y − y₀ = m(x − x₀). L'idée est que tous les déplacements le long de la droite ont le même rapport entre variation verticale et horizontale. Avec deux points d'abscisses différentes, m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Le dénominateur montre pourquoi une droite verticale n'a pas de pente définie.

Développer la forme précédente permet d'obtenir y = mx + p. Pour vérifier qu'un point appartient à la droite, remplace ses deux coordonnées dans l'équation. Un seul point ne détermine pas une droite, car une infinité de directions sont possibles ; deux points distincts la déterminent. Si les deux abscisses sont égales, l'équation est x = x₀.

La forme générale Ax + By + C = 0, avec A et B non simultanément nuls, comprend aussi les droites verticales. Si B ≠ 0, isoler y donne une pente de −A/B. Si B = 0, on a x = −C/A. Multiplier toute l'équation par une constante non nulle ne modifie pas la droite ; par exemple, 2x + y − 3 = 0 et 4x + 2y − 6 = 0 représentent le même ensemble de points.

Parallèles, perpendiculaires et intersections

Deux droites non verticales sont parallèles lorsqu'elles ont la même pente ; si leurs ordonnées à l'origine coïncident aussi, c'est la même droite. Deux verticales distinctes sont parallèles. Des droites non parallèles se coupent en un seul point qui satisfait simultanément les deux équations. Trouver ce point revient à résoudre un système linéaire.

Pour deux droites non verticales perpendiculaires, les pentes satisfont m₁m₂ = −1. Une façon de comprendre le signe consiste à faire tourner une direction (1, m) de 90° : elle devient (−m, 1), dont la pente, pour m ≠ 0, vaut −1/m. Une droite horizontale et une verticale sont aussi perpendiculaires, mais ce cas ne peut pas utiliser le produit de deux pentes définies.

Ne conclus pas à la perpendicularité sur le seul dessin : des échelles différentes peuvent faire paraître oblique un angle droit. Par exemple, une droite de pente 2 est perpendiculaire à une autre de pente −1/2, et non de pente −2. L'inverse et le signe négatif jouent tous deux un rôle. Pour construire la perpendiculaire passant par un point, détermine d'abord la nouvelle pente, puis utilise la forme point–pente.

Le cercle comme lieu géométrique

Un lieu géométrique est un ensemble de points satisfaisant une condition. Le cercle de centre C = (h, k) et de rayon r > 0 réunit les points P dont la distance à C vaut r. Appliquer la formule de distance et élever au carré donne :

L'égalité décrit la frontière. L'inégalité ≤ r² décrit le disque fermé, qui comprend l'intérieur et la frontière ; l'inégalité < r² décrit seulement l'intérieur. Dans l'équation (x + 2)² + (y − 3)² = 25, le centre est (−2, 3) et le rayon 5. Le nombre du second membre est le carré du rayon, et non le rayon.

Nous pouvons retrouver le centre d'une équation développée en complétant les carrés. Dans x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0, on a (x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 − 12 = 0 ; donc (x − 3)² + (y + 2)² = 25. Centre (3, −2), rayon 5. Si le second membre final était négatif, il n'y aurait pas de points réels ; s'il était nul, il n'y aurait que le centre, une situation dégénérée.

L'ellipse : une condition de distance qui produit une équation

Une ellipse est l'ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes, les foyers, est constante. Commence avec les foyers F₁ = (−c,0) et F₂ = (c,0), avec c ≥ 0, et une somme des distances de 2a, avec a > c. Le centre est l'origine. Le grand axe mesure 2a ; nous écrivons b² = a² − c², avec b > 0. Ici, c est la distance du centre à un foyer, et non le terme constant d'une droite.

Nous pouvons établir l'équation. Pour P = (x,y), appelons r₁ et r₂ les distances aux foyers. On a r₁ + r₂ = 2a. D'après la formule de distance, r₁² − r₂² = (x + c)² − (x − c)² = 4cx. En factorisant la différence des carrés, (r₁ − r₂)(r₁ + r₂) = 4cx, donc r₁ − r₂ = 2cx/a. En additionnant les deux relations et en divisant par 2, r₁ = a + cx/a.

Maintenant, r₁² = (x + c)² + y² donne a² + 2cx + c²x²/a² = x² + 2cx + c² + y². Nous simplifions 2cx et réorganisons : a² − c² = x²(1 − c²/a²) + y². En utilisant b² = a² − c² et en divisant par b², nous arrivons à x²/a² + y²/b² = 1. Les longueurs et la condition a > c garantissent que b² est positif.

Les sommets du grand axe se trouvent en (±a,0) et les extrémités du petit axe en (0,±b). Si le grand axe est vertical, le terme avec a² est associé à y². Par exemple, x²/9 + y²/25 = 1 a un demi-grand axe de 5 à la verticale, un demi-petit axe de 3 et des foyers (0,±4). Le plus grand dénominateur n'est pas nécessairement sous x.

Pour un centre (x₀,y₀), nous remplaçons x par x − x₀ et y par y − y₀. L'ellipse (x − 2)²/25 + (y + 1)²/9 = 1 a pour centre (2,−1), pour demi-axes 5 et 3, et c = √(25 − 9) = 4. Les foyers sont (−2,−1) et (6,−1). Pour vérifier un point, remplace les deux coordonnées et contrôle l'égalité au lieu de juger seulement l'apparence d'une figure.

Un cercle est le cas où a = b et les deux foyers coïncident au centre. Une ellipse dessinée à des échelles différentes sur les deux axes peut paraître plus ou moins allongée qu'elle ne l'est réellement. Les valeurs géométriques doivent être tirées de l'équation et de l'échelle, et non d'une impression visuelle.

Ensembles de points et résolution de problèmes

Une droite et un cercle peuvent n'avoir aucun point commun, se toucher en un seul point ou se couper en deux points. Remplacer l'expression de la droite dans l'équation du cercle produit une équation quadratique ; le nombre de solutions réelles traduit ces trois possibilités. Après avoir trouvé une coordonnée, calcule l'autre et vérifie les paires dans les deux équations.

Un autre lieu géométrique utile est l'ensemble des points équidistants de A et B, avec A ≠ B. La condition d(P, A) = d(P, B), après élévation au carré, fait disparaître x² et y² et produit une droite : la médiatrice du segment AB. Géométriquement, cette droite passe par le milieu et est perpendiculaire au segment. L'algèbre et la géométrie confirment la même description.

En résolvant une situation, décide si tu cherches un point, une distance, une droite ou une région. Une équation peut décrire une infinité de points, tandis qu'un système peut en sélectionner certains. La réponse doit respecter cette différence : donner seulement l'abscisse n'identifie pas un point, et donner seulement un dessin ne vérifie pas une condition numérique. Les unités finales dépendent de la grandeur demandée.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

Soustraire les coordonnées peut donner une distance négative.

Les différences orientées peuvent être négatives ; la distance utilise des carrés et une racine positive ou nulle.

Deux droites perpendiculaires ont des pentes opposées.

Pour des pentes définies et non nulles, elles sont inverses de signes contraires, et pas simplement opposées.

Dans une équation de cercle, le second membre est le rayon.

C'est r² ; il faut prendre la racine positive pour obtenir r.

Le cercle et le disque sont le même ensemble.

Le cercle est la frontière ; le disque inclut les points intérieurs.