Fonctions affines et quadratiques

Révision : sortie, différence et taux

Une fonction associe chaque entrée admissible à une sortie. Pour deux entrées distinctes x₁ et x₂, le taux moyen vaut [f(x₂) − f(x₁)]/(x₂ − x₁). Le quotient distingue un changement total d'un changement par unité d'entrée. Si un coût augmente de 600 Kz lorsque la quantité augmente de trois unités, le taux moyen est de 200 Kz par unité.

Remplacer une valeur et résoudre une condition sont des tâches différentes. Pour C(n) = 200n + 500, C(4) = 1300 calcule le coût de quatre unités. Résoudre C(n) = 1300 cherche la quantité correspondante et donne n = 4. Un graphique rassemble ces couples, mais l'interprétation dépend des axes et des unités.

Une comparaison exige le même sens pour les variables. Nous ne pouvons pas comparer directement une fonction de coût quotidien à une autre de coût mensuel sans harmoniser l'entrée et la sortie. Avant les calculs, écris ce que x mesure, ce que y mesure et quelles valeurs de x ont un sens. Cette discipline rend les paramètres compréhensibles.

La fonction affine et le sens de la pente

Une fonction affine s'écrit f(x) = mx + p, avec m et p réels. Le paramètre p = f(0) est l'ordonnée à l'origine. Pour toutes entrées distinctes a et b, [f(b) − f(a)]/(b − a) = [m(b − a)]/(b − a) = m. Ainsi, m est le taux de variation constant et le graphique est une droite. Si p = 0, la fonction est aussi de proportionnalité directe, souvent appelée linéaire selon cette convention.

Si m > 0, la droite est croissante ; si m < 0, elle est décroissante ; si m = 0, la fonction est constante. Pour m ≠ 0, le zéro résout mx + p = 0, donc x = −p/m. Une droite verticale, x = a, n'est pas le graphique d'une fonction y de x, car la même abscisse admet plusieurs ordonnées.

Les coefficients ont un sens lié au contexte. Dans C(n) = 150n + 800, avec C en Kz et n en unités, 800 Kz est un coût fixe et 150 Kz/unité le coût par unité supplémentaire. Une ordonnée à l'origine peut être une extrapolation sans sens physique si zéro n'appartient pas au domaine réel de la situation ; lis-la toujours à la lumière du modèle.

La variation quadratique et les différences secondes

Pour une fonction quadratique f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0, le taux moyen entre x et x + h vaut a(2x + h) + b, pour h ≠ 0. Il suffit de développer f(x + h) − f(x) et de diviser par h. La présence de x montre pourquoi il n'existe pas de pente constante pour toute la parabole. Le coefficient a ne joue pas le même rôle que m dans une droite.

Pour des pas égaux de taille h, les premières différences varient et les différences entre ces différences sont constantes, égales à 2ah². Pour f(x) = x², aux entrées x = 0, 1, 2, 3, les sorties sont 0, 1, 4, 9 ; les premières différences sont 1, 3, 5 et les secondes 2, 2. Cette régularité aide à reconnaître des données compatibles avec un modèle quadratique.

Compatible ne signifie pas prouvé pour toutes les entrées. Quelques points peuvent appartenir à plusieurs courbes ; les données mesurées incluent des erreurs. Pour une grandeur de sortie en m² et une entrée en m, le coefficient de x² peut être sans dimension, tandis que les coefficients des autres termes nécessitent les unités permettant à toutes les parts d'être des aires. On n'additionne pas des grandeurs de dimensions incompatibles.

Transformations et forme canonique

L'écriture f(x) = a(x − h)² + k montre une parabole de référence déplacée horizontalement à h et verticalement à k, avec une échelle verticale |a| et une réflexion si a < 0. Le sommet est (h, k). Le signe dans les parenthèses demande de l'attention : (x + 3)² = (x − (−3))² place le sommet à x = −3.

Pour passer de la forme développée à la forme canonique, complète le carré. Par exemple, 2x² − 12x + 11 = 2(x² − 6x) + 11 = 2[(x − 3)² − 9] + 11 = 2(x − 3)² − 7. Le sommet est donc (3, −7), l'axe x = 3 et l'ensemble image sur ℝ est [−7, +∞[.

Modifier c en gardant a et b constants déplace la courbe verticalement. Modifier b en gardant a et c constants déplace l'axe et modifie aussi la hauteur du sommet. Il est donc préférable de ne pas mémoriser que chaque coefficient « déplace la courbe » dans une seule direction. Les formules h = −b/(2a) et k = f(h) expliquent l'effet combiné.

Zéros, signe et inéquations quadratiques

Le discriminant Δ = b² − 4ac indique combien de zéros réels existent. Lorsque Δ > 0, appelons r₁ et r₂ les racines ordonnées, avec r₁ < r₂. Sous la forme a(x − r₁)(x − r₂), nous pouvons déterminer le signe de chaque facteur sur chaque intervalle. Si a > 0, la fonction est positive à l'extérieur des racines et négative entre elles. Si a < 0, les signes s'inversent.

Si Δ = 0, l'expression est a(x − r)² : le signe hors de la racine coïncide avec celui de a et ne change pas en traversant r. Si Δ < 0, la fonction ne touche pas l'axe horizontal et garde le signe de a sur tout ℝ. Ces conclusions résultent de la factorisation ou de la forme canonique, et pas seulement de la mémorisation d'un dessin.

Résoudre f(x) ≥ 0 demande les intervalles où la sortie est positive ou nulle ; les racines sont incluses. Résoudre f(x) > 0 les exclut. Croise ensuite la solution algébrique avec le domaine du problème. Si x représente des objets, il peut être nécessaire de conserver uniquement les entiers de l'intervalle. La réponse à l'inéquation est un ensemble d'entrées.

Intersections et choix de modèles

Deux graphiques se croisent lorsqu'ils ont la même entrée et la même sortie. Pour comparer f et g, résous f(x) = g(x), ou étudie le signe de f(x) − g(x). Comparer une droite et une parabole conduit généralement à une équation quadratique, avec zéro, une ou deux intersections réelles. La condition f(x) > g(x) correspond à f(x) − g(x) > 0.

Dans un problème d'aire, d'optimisation ou de recette, le sommet peut donner un extremum. Mais si le domaine est [a, b], nous devons savoir si l'abscisse du sommet appartient à l'intervalle et comparer aussi les frontières pertinentes. Si le domaine est discret, les entiers les plus proches du sommet méritent un examen. Un maximum continu à x = 4,5 n'autorise pas à vendre un demi-objet.

Une fonction affine suppose une augmentation absolue constante ; une fonction quadratique suppose une forme précise de modification de cette augmentation. Aucune ne doit être prolongée indéfiniment simplement parce qu'elle ajuste quelques données. Le choix du modèle nécessite une raison, comme une relation géométrique, un tarif défini ou une régularité appuyée par des informations suffisantes.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

Toute fonction affine est une proportionnalité directe.

La proportionnalité directe exige une ordonnée à l'origine nulle.

Le coefficient a d'une fonction quadratique est sa pente constante.

Le taux moyen dépend de l'intervalle ; a règle la courbure et la concavité.

Dans une inéquation quadratique, on présente seulement les racines.

Les racines délimitent des intervalles ; il faut étudier le signe et inclure ou exclure les extrémités.

Le maximum continu résout toujours un comptage.

Un comptage exige des entrées entières ; compare les valeurs admissibles proches du sommet.