Similitude, Pythagore et trigonométrie

Bases : angles, côtés et proportionnalité

Un triangle possède trois côtés et trois angles intérieurs, dont la somme vaut 180° en géométrie plane euclidienne. Si un angle mesure 90°, le triangle est rectangle. Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse ; c'est le plus grand côté. Les deux autres sont les côtés de l'angle droit. L'hypoténuse ne dépend ni de la position du papier ni de l'apparence inclinée du côté sur le dessin.

Un rapport compare deux quantités par division. Pour des longueurs mesurées dans la même unité, le rapport est un nombre sans unité : 6 cm/3 cm = 2. Une proportion affirme que deux rapports sont égaux. Dans 6/3 = 10/5, les deux paires ont le même facteur d'échelle. Si a/b = c/d et b,d ≠ 0, multiplier par les dénominateurs donne ad = bc.

Dessine toujours avant de calculer. Indique l'angle droit, les données, l'inconnue et les unités. Un dessin aide à organiser les informations, mais ne prouve pas que deux côtés sont égaux ou qu'un angle est droit ; ces propriétés doivent venir des données ou d'un raisonnement. Si la figure n'est pas à l'échelle, se fier à son apparence peut être particulièrement trompeur.

Similitude : conserver la forme, changer la taille

Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles correspondants sont égaux et leurs côtés correspondants proportionnels. La correspondance est essentielle : le côté entre les angles A et B doit être comparé au côté entre les angles correspondants A′ et B′. Écrire les sommets dans le bon ordre évite de mélanger des côtés jouant des rôles différents.

Pour des triangles, il suffit de connaître deux angles correspondants égaux : le troisième coïncide aussi grâce à la somme de 180°, et la forme est déterminée. On peut aussi justifier la similitude par trois paires de côtés proportionnels, ou par deux paires proportionnelles et l'égalité de l'angle compris entre ces côtés. L'égalité d'un seul angle ne suffit pas.

Si le facteur d'échelle d'un triangle à l'autre est k > 0, chaque longueur et le périmètre sont multipliés par k. L'aire est multipliée par k², car la base et la hauteur sont toutes deux des longueurs. Un dessin agrandi avec k = 3 a des côtés trois fois plus grands et une aire neuf fois plus grande. La similitude conserve la forme, mais ne conserve pas l'aire et ne transforme pas une figure en une autre de même taille.

Pourquoi la somme des carrés apparaît

Dans un triangle rectangle de côtés de l'angle droit a et b et d'hypoténuse c, le théorème de Pythagore affirme a² + b² = c². On peut comprendre l'égalité par les aires. Place quatre copies de ce triangle dans un carré de côté a + b, en laissant au centre un carré de côté c. L'aire totale est (a + b)² ; la somme des quatre aires triangulaires est 4(ab/2) = 2ab.

L'aire centrale vaut donc (a + b)² − 2ab = a² + b², mais elle vaut aussi c². D'où la relation. Cette explication dépend de l'angle droit et de la construction du carré central. Elle ne s'applique pas automatiquement à un triangle quelconque non rectangle, où cette même disposition géométrique n'existe pas.

Pour trouver l'hypoténuse, on calcule c = √(a² + b²), en choisissant la racine positive puisqu'il s'agit d'une longueur. Pour trouver un côté de l'angle droit, par exemple a, on utilise a = √(c² − b²). La soustraction exige que c soit l'hypoténuse. La réciproque est également vraie : si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle.

La hauteur sur l'hypoténuse et les relations métriques

Considère un triangle ABC rectangle en C. Appelons c la longueur de l'hypoténuse AB, b celle du côté AC et a celle du côté BC. Trace la hauteur CH sur l'hypoténuse : H appartient à AB, CH est perpendiculaire à AB et sa longueur est h. Les parties de l'hypoténuse sont AH = p et HB = q ; donc c = p + q. Les lettres désignent des longueurs positives sur ce dessin.

Les deux petits triangles sont semblables au triangle initial : chacun a un angle droit et partage un angle aigu avec lui. Dans le triangle AHC et le triangle initial ABC, comparer les côtés correspondants donne b/c = p/b. En multipliant par bc, on obtient b² = cp. De même, du côté de B, a² = cq. Le carré de chaque côté de l'angle droit est égal à l'hypoténuse multipliée par la projection de ce côté sur celle-ci.

On peut déduire la relation de la hauteur à partir du petit triangle AHC : h² = b² − p². Comme b² = cp et c = p + q, on a h² = p(p + q) − p² = pq. Donc h² = pq. En additionnant les relations des côtés de l'angle droit, a² + b² = c(p + q) = c², on retrouve Pythagore. Ce ne sont pas trois règles indépendantes à mémoriser : les mêmes similitudes les relient.

Exemple : si p = 9 cm et q = 16 cm, alors c = 25 cm. La hauteur vaut √(9 × 16) = 12 cm. Les côtés de l'angle droit sont b = √(25 × 9) = 15 cm et a = √(25 × 16) = 20 cm. Vérifie : 15² + 20² = 625 = 25². Les unités concordent aussi : le produit de deux longueurs donne une longueur au carré.

Ces relations exigent un triangle rectangle et la hauteur tracée sur son hypoténuse. Une hauteur quelconque dans un triangle non rectangle ne peut pas être insérée automatiquement dans h² = pq. Fais le dessin, identifie l'angle droit, puis seulement associe chaque projection au côté correspondant.

Sinus, cosinus et tangente : rapports d'un angle

Choisis un angle aigu θ dans un triangle rectangle. Le côté opposé ne touche pas cet angle ; le côté adjacent le touche et n'est pas l'hypoténuse. Si tu choisis l'autre angle aigu, les deux côtés échangent leurs rôles. L'hypoténuse reste la même. Cette identification doit précéder le choix d'une formule.

Pourquoi ces rapports dépendent-ils seulement de l'angle et non de la taille du triangle ? Deux triangles rectangles ayant le même θ ont aussi le même troisième angle ; ils sont semblables. Multiplier tous les côtés par k multiplie le numérateur et le dénominateur par le même facteur, qui se simplifie. La trigonométrie est ainsi une manière d'organiser la proportionnalité.

Le sinus et le cosinus d'un angle aigu sont entre 0 et 1, car un côté de l'angle droit est plus petit que l'hypoténuse. La tangente peut dépasser 1. La relation tan θ = sin θ/cos θ résulte de la division des deux rapports. Pour mesurer des longueurs, utilise les côtés dans la même unité ; le sinus, le cosinus et la tangente sont des rapports sans unité.

Lire un triangle par plusieurs méthodes

Les mesures vérifient 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13². Pour l'angle indiqué, sin θ = 5/13, cos θ = 12/13 et tan θ = 5/12. Il n'est pas nécessaire de calculer l'angle pour connaître ces rapports exacts. Si l'on double le dessin, les côtés deviennent 10, 24 et 26 ; chaque rapport reste identique.

Pour retrouver θ à partir de la tangente, on utilise l'opération réciproque arctan : θ = arctan(5/12) ≈ 22,62°. Vérifie le mode de la calculatrice : dans cette leçon, les angles numériques accompagnés du symbole ° sont en degrés. La valeur arctan(5/12) en radians serait un autre nombre représentant la même ouverture. Arrondir le rapport trop tôt réduit la précision de l'angle.

Choisir une relation et examiner les hypothèses

Si tu connais deux côtés d'un triangle rectangle et cherches le troisième, Pythagore suffit généralement. Si tu connais un angle aigu et un côté, un rapport trigonométrique les relie au côté recherché. Si tu compares deux figures de même forme, la similitude peut éviter tout calcul d'angle. Le choix dépend des informations disponibles, pas de la dernière formule étudiée.

Pour estimer la hauteur d'une structure par les ombres, les rayons du Soleil doivent pouvoir être considérés comme parallèles, le sol doit être approximativement plan et les mesures simultanées. Une tige verticale et la structure verticale produisent alors des triangles semblables. Si le terrain présente des inclinaisons différentes, la proportion simple n'est plus justifiée.

Lors d'une mesure par angle d'élévation, l'observateur forme un triangle entre l'horizontale, la ligne de visée et la hauteur au-dessus des yeux. Si la distance horizontale est d et l'angle θ, cette différence de hauteur vaut d tan θ. Pour obtenir la hauteur totale de la structure, ajoute la hauteur des yeux. Le résultat est une estimation dépendant des incertitudes sur la distance et l'angle et du modèle du terrain.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

L'hypoténuse est toujours le côté dessiné en diagonale.

C'est le côté opposé à l'angle de 90°, indépendamment de l'orientation de la figure.

Pythagore vaut dans tout triangle.

L'égalité a² + b² = c² exige un triangle rectangle avec c pour hypoténuse.

Le côté opposé porte toujours le même nom.

Opposé et adjacent dépendent de l'angle choisi.

Une échelle de 3 multiplie l'aire par 3.

Elle multiplie les longueurs par 3 et les aires par 9.