Du triangle au cercle trigonométrique

Révision : des rapports qui conservent l'angle

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu θ, sin θ est le côté opposé sur l'hypoténuse, cos θ le côté adjacent sur l'hypoténuse et tan θ le côté opposé sur l'adjacent. Deux triangles rectangles de même θ sont semblables ; les rapports ne dépendent donc pas de la taille. Cette indépendance permet d'attribuer des nombres trigonométriques à l'angle lui-même.

Si les côtés de l'angle droit mesurent 8 et 15 et l'hypoténuse 17, pour l'angle opposé au côté 8, on a sin θ = 8/17, cos θ = 15/17 et tan θ = 8/15. Pythagore confirme 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17². Changer d'angle échange les rôles des côtés de l'angle droit, mais pas l'hypoténuse.

Le triangle rectangle habituel ne présente que des angles aigus, bien que nous puissions tourner une direction de 120°, de −45° ou de plusieurs tours. Pour étudier ces cas, il faut un modèle qui admette des coordonnées négatives et des rotations orientées. Ce modèle est le cercle de rayon 1 centré à l'origine.

Rotations et définition du radian

Un angle orienté commence sur une demi-droite initiale et se termine sur une autre après une rotation. Dans le plan cartésien, nous utilisons comme départ le demi-axe positif de x. Le sens inverse des aiguilles d'une montre est positif ; le sens horaire est négatif. Un tour complet mesure 360°, mais cette division en degrés est une convention humaine.

Le radian naît de la géométrie : si un angle au centre θ intercepte un arc de longueur s sur un cercle de rayon r, sa mesure en radians est définie par θ = s/r. Les deux longueurs ayant la même unité, le quotient est sans dimension. Nous pouvons écrire « rad » pour rappeler la convention angulaire, particulièrement dans les applications physiques.

Un tour a pour longueur 2πr, donc mesure 2π rad. Ainsi, 180° = π rad et 90° = π/2 rad. Pour convertir les degrés en radians, multiplie par π/180 ; dans l'autre sens, multiplie par 180/π. La formule s = rθ exige θ en radians. Utiliser une valeur numérique en degrés sans conversion dans cette formule produit une mauvaise échelle.

Les coordonnées comme sinus et cosinus

Sur le cercle unitaire x² + y² = 1, fais tourner une demi-droite d'un angle θ à partir du demi-axe positif de x et appelle P son point de rencontre avec le cercle. On définit cos θ comme l'abscisse de P et sin θ comme son ordonnée. L'ordre du couple est donc P = (cos θ, sin θ).

Dans le premier quadrant, abaisser une perpendiculaire jusqu'à l'axe x forme un triangle rectangle d'hypoténuse 1. Les coordonnées coïncident avec les rapports du triangle : adjacent/1 et opposé/1. La nouvelle définition prolonge donc la précédente sans la contredire. Dans les autres quadrants, les coordonnées donnent les signes que les longueurs des côtés ne pourraient pas fournir.

Quadrants, angles de référence et tours

Dans le premier quadrant, le sinus et le cosinus sont positifs. Dans le deuxième, le sinus est positif et le cosinus négatif. Dans le troisième, les deux sont négatifs. Dans le quatrième, le sinus est négatif et le cosinus positif. Nous pouvons retrouver ces signes en pensant simplement haut/bas et gauche/droite, sans mémoriser de phrase auxiliaire.

Des angles différant d'un tour entier se terminent au même point. Ainsi, sin(θ + 2kπ) = sin θ et cos(θ + 2kπ) = cos θ pour tout entier k. Par exemple, 390° et 30° diffèrent de 360° et ont les mêmes coordonnées. Cela ne signifie pas que les rotations parcourues sont égales ; cela signifie que le point final coïncide.

L'angle de référence est l'angle aigu formé avec l'axe horizontal lorsque le côté final n'est pas sur un axe. Pour 150°, la référence est 30° : le point est à gauche et au-dessus, donc sin 150° = sin 30° et cos 150° = −cos 30°. La réflexion par rapport à l'axe x donne sin(−θ) = −sin θ et cos(−θ) = cos θ. Les signes sont une conséquence des symétries.

Construire les valeurs exactes et les identités

Un triangle rectangle isocèle de côtés de l'angle droit 1 a pour hypoténuse √2 ; donc sin 45° = cos 45° = 1/√2 = √2/2. Pour 30° et 60°, coupe en deux un triangle équilatéral de côté 2 : tu obtiens une hypoténuse de 2, un petit côté de 1 et une hauteur de √3. D'où sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, sin 60° = √3/2 et cos 60° = 1/2.

Sur les axes, les coordonnées donnent directement cos 0 = 1 et sin 0 = 0 ; cos(π/2) = 0 et sin(π/2) = 1 ; cos π = −1 et sin π = 0. Ces valeurs font partie de la définition sur le cercle, sans nécessiter un triangle à côté positif dans chaque direction.

Remplacer x = cos θ et y = sin θ dans x² + y² = 1 donne cos² θ + sin² θ = 1. L'écriture sin² θ signifie (sin θ)², et non sin(θ²). On définit tan θ = sin θ/cos θ lorsque cos θ ≠ 0. La tangente n'existe donc pas à θ = π/2 + kπ, pour k entier. L'identité ne permet pas d'ignorer le signe en retrouvant le sinus ou le cosinus à partir d'un carré.

Du cercle unitaire à un rayon quelconque

Si le cercle a un rayon r et un centre à l'origine, un point d'angle θ a pour coordonnées (r cos θ, r sin θ). C'est un agrandissement du cercle unitaire par le facteur r. Pour r = 10 m et θ = 60°, nous obtenons x = 5 m et y = 5√3 m. La distance à l'origine confirme √(25 + 75) = 10 m.

L'aire d'un secteur circulaire suit aussi la fraction de tour : A = (θ/(2π))πr² = r²θ/2, avec θ en radians pour l'expression finale. Un angle de π/3 représente un sixième de tour ; son arc mesure donc un sixième du périmètre et le secteur occupe un sixième de l'aire du disque.

Pour les calculs approchés, vérifie le mode DEG ou RAD de la calculatrice. sin(30°) = 0,5, mais sin(30 rad) ne vaut pas 0,5. Conserve π dans les réponses exactes chaque fois que possible ; arrondir π avant la fin introduit une erreur inutile. Si l'information donne un quadrant, utilise-le pour choisir le signe de la racine en appliquant l'identité fondamentale.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

Les radians sont un autre nom pour les degrés.

C'est une autre mesure de la même ouverture ; un tour vaut 360° ou 2π rad.

Le point du cercle est (sinus, cosinus).

L'ordre cartésien est (cosinus, sinus).

Une racine positive convient toujours pour retrouver le cosinus.

Le quadrant décide si le cosinus est positif ou négatif.

La tangente existe pour tous les angles.

C'est un quotient et elle exige un cosinus non nul.