Dérivées et taux de variation

Revoir les pentes, les accroissements et les unités

Pour deux points d'un graphe, la pente est la variation verticale divisée par la variation horizontale. Si l'entrée passe de a à a+h, son accroissement est h et celui de la sortie est f(a+h)−f(a). Utilise des parenthèses : soustraire f(a) signifie soustraire toute l'expression. Le taux moyen est [f(a+h)−f(a)]/h et n'est défini que pour h≠0, avec les deux entrées dans l'ensemble de définition.

Si l'entrée est le temps en secondes et la sortie la position en mètres, le taux a pour unité m/s. Si l'entrée est le nombre de produits et la sortie le coût en unités monétaires, le taux est un coût par produit. Une dérivée n'est donc pas seulement un nombre associé à un graphe : elle traduit la sensibilité d'une grandeur à une autre. Changer l'unité horizontale modifie la valeur numérique de ce taux.

De la sécante à la tangente

Une sécante passe par deux points distincts de la courbe. Garde un point fixe, en a, et rapproche l'autre en faisant tendre h vers zéro. Si les pentes convergent vers un même nombre fini par les côtés autorisés, ce nombre est f′(a), la dérivée en a. Dans la définition usuelle en un point intérieur, on exige une limite bilatérale.

On ne remplace pas h par 0 dans le quotient : cela donnerait généralement 0/0. On simplifie pour h≠0, puis seulement on prend la limite. La tangente est la droite y=f(a)+f′(a)(x−a), qui conserve le point et la pente locale. Elle peut traverser la courbe ou la rencontrer à nouveau ailleurs. L'idée de toucher une seule fois, utile pour certains cercles, n'est pas la définition générale d'une tangente.

Déduire une règle avant de l'utiliser

Pour f(x)=x², calcule f(a+h)=(a+h)²=a²+2ah+h². En soustrayant a² et en divisant par h, pour h≠0, on obtient 2a+h. La limite est 2a. Comme a peut être tout réel, la fonction dérivée est f′(x)=2x. Pour une constante, le numérateur est nul et la dérivée est nulle. Pour f(x)=mx+b, le numérateur est mh et la dérivée vaut m.

La règle des puissances généralise le résultat : la dérivée de xⁿ est nxⁿ⁻¹, aux points où la fonction et la dérivation réelle ont un sens. Pour les exposants entiers positifs, le développement de (x+h)ⁿ laisse, après division par h, un terme nxⁿ⁻¹ et des termes contenant des facteurs h qui disparaissent à la limite. La règle fonctionne aussi pour de nombreux exposants non entiers, mais l'ensemble de définition doit être analysé : √x a pour dérivée 1/(2√x) seulement pour x>0.

Combiner les taux : somme, produit et composition

La dérivée d'une somme est la somme des dérivées ; un facteur constant reste devant la dérivée. Dans un produit uv, la variation comprend celle de u avec v presque fixe et celle de v avec u presque fixe. Cela conduit à (uv)′=u′v+uv′. Ce n'est pas u′v′. Pour un quotient, (u/v)′=(u′v−uv′)/v², là où v≠0 et où les fonctions sont dérivables.

Une composition décrit une transformation à l'intérieur d'une autre. Si y=g(u) et u=f(x), une petite variation de x produit en u approximativement f′(x) fois cette variation ; puis g′(u) la multiplie. Ainsi, [g(f(x))]′=g′(f(x))f′(x). Pour (3x+1)², le facteur extérieur est 2(3x+1) et le facteur intérieur 3. Le résultat 6(3x+1) peut être confirmé en développant le polynôme. Ces deux méthodes constituent une vérification utile.

Quand la dérivée n'existe pas

La fonction |x| est continue en zéro, mais les pentes latérales valent −1 et 1. Il n'existe pas de dérivée unique en ce point. La continuité ne garantit pas la dérivabilité. L'implication réciproque est vraie : si une dérivée finie existe en a, alors f est continue en a. En effet, la variation f(a+h)−f(a) est le quotient de différences multiplié par h ; le premier facteur tend vers un nombre fini et le second vers zéro.

Une discontinuité empêche la dérivabilité au point considéré. Une tangente verticale ne correspond pas non plus à une dérivée réelle finie, même si l'on peut étudier une pente non bornée. À une extrémité de l'ensemble de définition, il peut exister une dérivée unilatérale ; il faut la désigner comme telle. En dérivant 1/x, la formule −1/x² n'autorise pas x=0 : la fonction initiale n'existe même pas à cette entrée. L'ensemble de définition de la dérivée peut différer de celui de la fonction.

Lire les taux dans le contexte et dans les données

Si s(t) représente la position, s′(t) est la vitesse algébrique, dont le signe dépend de l'axe ; la valeur de la vitesse est |s′(t)|. L'accélération est la dérivée de la vitesse, pas la vitesse elle-même. Une dérivée négative signifie que la sortie diminue, pas nécessairement qu'elle est négative. Un réservoir peut contenir beaucoup de liquide alors que son volume diminue.

Avec des données mesurées, un taux instantané est estimé à partir de taux sur de petits intervalles. Trop réduire l'intervalle peut amplifier les erreurs de mesure : diviser une petite différence bruitée par un intervalle minuscule rend l'estimation instable. Pour une fonction lisse, la différence centrée [f(a+h)−f(a−h)]/(2h) peut être utile, mais reste une approximation. Enfin, une dérivée nulle à un instant ne signifie pas que la fonction est constante : t² a une dérivée nulle en zéro et varie dans tout voisinage. C'est le comportement sur un intervalle qui permet de conclure à la constance.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

La dérivée d'un produit est le produit des dérivées.

Chaque facteur contribue à la variation ; utilise u′v+uv′.

Une dérivée nulle implique un maximum ou un minimum.

Ce n'est qu'un candidat ; x³ a une dérivée nulle en 0 et reste croissante.

Une fonction continue possède toujours une dérivée.

Un point anguleux comme celui de |x| en zéro empêche l'existence d'une pente unique.