Étude et optimisation de fonctions

Les questions viennent avant les dérivées

Une formule isolée ne définit pas un problème d'optimisation. L'expression A(x)=x(20−x), par exemple, peut s'étudier sur tous les réels comme polynôme ; si x et 20−x sont des longueurs, seul 0<x<20 représente des rectangles non dégénérés. Le domaine contextuel peut être plus petit que l'ensemble de définition algébrique. Il faut aussi décider ce que l'on veut maximiser : l'aire, le rendement, la recette ou une autre grandeur.

Commence par nommer les variables avec leurs unités, dessiner la configuration et écrire les contraintes. Puis élimine des variables, si possible, pour obtenir une fonction d'une seule entrée. Une réponse optimale exige existence et admissibilité : une valeur qui annule la dérivée peut être hors de l'intervalle autorisé ou violer une condition initiale. Le dessin organise les relations, mais les contraintes doivent apparaître explicitement dans les équations et les inéquations.

Signe de la fonction et signe de la dérivée

Le signe de f(x) indique si le graphe est au-dessus ou au-dessous de l'axe horizontal. Le signe de f′(x) décrit la variation : si f′ est positive sur un intervalle, f y est croissante ; si elle est négative, f y est décroissante. Ce sont des questions différentes. La fonction −10+x croît sur (0,2), alors qu'elle ne prend que des valeurs négatives sur cet intervalle.

Pour construire un tableau de variation, trouve où la dérivée s'annule ou cesse d'exister et partage l'ensemble de définition selon ces points et ses interruptions. Détermine le signe sur chaque intervalle par factorisation ou un autre raisonnement. Une seule valeur test suffit lorsqu'on sait déjà qu'il n'existe ni zéro ni changement de définition sur l'intervalle. Traduis ensuite les signes par des flèches de croissance et de décroissance et calcule les sorties aux points pertinents.

Extremums locaux, absolus et candidats

Un maximum local est supérieur aux sorties suffisamment proches ; un maximum absolu est supérieur à toutes les sorties sur le domaine considéré. Un minimum obéit à la comparaison inverse. S'il existe un extremum en un point intérieur où la dérivée existe, elle doit être nulle : un taux strictement positif ou négatif permettrait de trouver des valeurs plus grandes d'un côté et plus petites de l'autre. Cette condition nécessaire n'est pas suffisante.

Les candidats comprennent les points intérieurs où f′=0, les points intérieurs où la dérivée n'existe pas et les extrémités de l'intervalle appartenant au domaine. Pour une fonction continue sur un intervalle fermé et borné [a,b], un maximum et un minimum absolus existent. Compare les valeurs de tous ces candidats. Sur un intervalle ouvert, une valeur limite peut ne jamais être atteinte : f(x)=x sur (0,1) s'approche de 1, mais n'a pas de maximum. Distingue la plus grande valeur existante de la borne supérieure.

Justifier un extremum et interpréter la courbure

Si la dérivée passe de positive à négative en un point, la fonction monte puis descend : il y a un maximum local. Si elle passe de négative à positive, il y a un minimum local. Si elle conserve son signe, ce critère ne fournit pas d'extremum. Pour x³, la dérivée 3x² est positive des deux côtés de zéro, bien qu'elle s'annule en ce point.

La dérivée seconde décrit comment le taux change. Là où f″>0, la dérivée croît et le graphe est convexe, courbé vers le haut ; là où f″<0, c'est l'inverse. Si f′(c)=0 et f″(c)>0, on a un minimum local ; avec f″(c)<0, un maximum local. Lorsque f″(c)=0, le test ne permet pas de conclure. Résoudre f″=0 ne suffit pas à affirmer un point d'inflexion : il faut prouver un changement de convexité et vérifier que le point appartient au graphe.

Un modèle d'aire avec une contrainte

Imagine 48 m de clôture pour un rectangle complet. Si les côtés sont x et y, alors 2x+2y=48, donc y=24−x. L'aire est A=x(24−x), en m², avec 0<x<24. La dérivée A′=24−2x s'annule en x=12. Avant cette valeur, elle est positive, puis négative après. Le carré de côté 12 m atteint donc la plus grande aire admissible.

La vérification peut aussi être purement algébrique : A(x)=144−(x−12)². Un carré est toujours positif ou nul, donc A≤144, avec égalité seulement en x=12. Cette seconde solution confirme la conclusion et explique pourquoi équilibrer les côtés améliore l'aire. La dérivée est un outil général, pas une obligation lorsqu'une autre structure résout mieux le problème. Dans les modèles géométriques, cherche toujours cette possibilité de vérification indépendante.

Décisions robustes et limites du modèle

Une optimisation mathématique dépend des hypothèses. Si la clôture comporte un portail, si un côté est déjà construit ou si seules des longueurs entières sont autorisées, la contrainte change. Un optimum continu peut servir de référence, mais un choix discret exige de comparer les entiers admissibles voisins et les éventuelles bornes. Arrondir sans revenir aux conditions peut produire une solution impossible.

Une réponse complète présente le choix, la valeur optimale, les unités et la raison pour laquelle il est globalement meilleur. Dans les applications, discute la sensibilité : près de x=12, modifier de 1 m la première dimension en compensant sur l'autre réduit l'aire de 1 m², car A(12+h)=144−h². Le modèle renseigne donc aussi sur la tolérance de la décision. Il n'est pas nécessaire de calculer plus de décimales que les données ne le permettent ni de confondre précision numérique et exactitude physique.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

Tous les extremums satisfont f′=0.

Les extrémités de l'intervalle et les points non dérivables sont aussi des candidats.

Une dérivée nulle garantit un extremum.

Le signe peut rester identique des deux côtés, comme pour x³.

La plus grande valeur trouvée est automatiquement admissible.

Vérifie le domaine et toutes les contraintes du modèle.