Limites et continuité

Revoir les fonctions et la proximité

Une fonction associe exactement une sortie à chaque entrée autorisée. L'ensemble de définition est l'ensemble de ces entrées. Pour f(x)=1/(x−3), x=3 est exclu : diviser par zéro ne définit pas un nombre réel. Un graphe représente les couples (x,f(x)), pas les valeurs que nous aimerions voir exister. Avant de calculer une limite, écris l'ensemble de définition et repère le point dont on s'approche.

Le symbole x→a signifie que l'on choisit des entrées arbitrairement proches de a, généralement différentes de a. Il ne décrit pas nécessairement un objet se déplaçant dans le temps. On peut approcher 3 par 2,9 ; 2,99 ; 2,999 ou par 3,1 ; 3,01 ; 3,001. Ces deux listes illustrent des côtés différents, mais une liste finie ne prouve jamais à elle seule le comportement de toutes les entrées proches. Interpréter la limite exige de contrôler tout le voisinage dans l'ensemble de définition.

Le sens d'une sortie qui s'approche d'une valeur

Écrire lim_x→a f(x)=L signifie que l'on peut rendre f(x) aussi proche de L qu'on le souhaite en restreignant suffisamment la distance de x à a, avec x≠a. La précision souhaitée sur les sorties détermine la proximité nécessaire sur les entrées. Pour f(x)=2x+1 près de a=3, on a |f(x)−7|=2|x−3|. Pour une erreur inférieure à 0,02 sur la sortie, une erreur inférieure à 0,01 sur l'entrée suffit.

Cette relation montre la logique de la définition rigoureuse : on choisit d'abord une tolérance positive ε sur les sorties, puis on cherche une tolérance positive δ sur les entrées. Si 0<|x−a|<δ implique |f(x)−L|<ε, la limite est maîtrisée. Pour commencer, tu dois surtout comprendre l'ordre du raisonnement, plutôt que mémoriser des lettres : garantir toute précision souhaitée, et pas seulement présenter des valeurs apparemment proches.

Les deux côtés doivent concorder

La limite à gauche utilise des entrées inférieures à a ; la limite à droite utilise des entrées supérieures. Lorsque l'ensemble de définition contient des entrées arbitrairement proches des deux côtés, la limite bilatérale finie existe exactement lorsque les deux limites unilatérales existent et sont égales. Si une fonction vaut −2 à gauche de 0 et 4 à droite, aucun nombre unique ne décrit les deux approches. Attribuer f(0)=1, ou toute autre valeur, ne résout pas ce saut.

À une extrémité de l'ensemble de définition, la continuité peut s'analyser uniquement du côté autorisé. Par exemple, √x est continue en 0 sur [0,+∞), en utilisant une approche à droite. Il ne faut pas inventer des entrées négatives pour exiger une limite bilatérale réelle que l'ensemble de définition lui-même ne permet pas. Dans ta réponse, précise si tu utilises une limite bilatérale ou une approche relative à l'ensemble de définition.

L'algèbre qui révèle le comportement

Pour les polynômes, remplacer l'entrée donne la limite, car les sommes et les produits préservent les limites finies. Pour un quotient, la substitution directe fonctionne aussi si la limite du dénominateur est non nulle. Lorsque 0/0 apparaît, tu n'as ni obtenu une valeur ni démontré l'absence de limite : tu as trouvé une forme indéterminée, qui demande une analyse supplémentaire.

Dans (x²−25)/(x−5), factorise le numérateur : (x−5)(x+5). Pour x≠5, l'expression coïncide avec x+5 ; la limite au voisinage de 5 est donc 10. La simplification ne rend pas l'expression initiale définie en 5. Avec des racines, multiplier par l'expression conjuguée peut révéler le même type de simplification : (√(x+4)−2)/x = 1/(√(x+4)+2), pour x≠0 dans l'ensemble de définition. La limite en 0 vaut alors 1/4.

Continuité, réparation et valeurs intermédiaires

Une fonction est continue en a lorsque f(a) est définie, que la limite appropriée existe et que cette limite est égale à f(a). Ce sont trois vérifications distinctes. Une discontinuité amovible apparaît lorsque la limite finie existe, mais que le point a été omis ou a reçu une autre valeur. On peut construire un prolongement continu en lui attribuant précisément la valeur de la limite. Un saut ne se répare pas en modifiant un seul point, car les comportements latéraux diffèrent déjà.

La continuité sur un intervalle permet une conclusion puissante : entre deux sorties f(a) et f(b), la fonction prend toutes les valeurs intermédiaires si elle est continue sur [a,b]. Ainsi, des signes opposés garantissent au moins une racine entre les extrémités. Ils ne garantissent pas une racine unique et ne donnent pas automatiquement sa position exacte. Un procédé de dichotomie réduit l'intervalle en conservant le changement de signe et produit des approximations justifiées.

Croissance sans limite et lecture rigoureuse

Pour 1/x², les sorties croissent sans borne lorsque x s'approche de 0 de chaque côté. On écrit une limite infinie, +∞, pour décrire cette croissance. L'infini n'est pas un nombre réel que l'on puisse insérer dans l'expression. Pour 1/x, le côté droit tend vers +∞ et le côté gauche vers −∞ ; aucune limite bilatérale commune n'existe, même au sens étendu. Une asymptote verticale décrit une croissance non bornée d'au moins un côté.

Il existe aussi des fonctions qui oscillent sans s'approcher d'une sortie : sin(1/x) au voisinage de 0 en est un exemple. Un tableau ou une calculatrice peut masquer ces oscillations. Pour expliquer une solution, combine l'ensemble de définition, les approches latérales et les transformations algébriques légitimes. Indique si le résultat est un nombre, un comportement non borné ou une absence de limite. Cette classification prépare l'étude de la dérivée, dont le quotient initial présente aussi souvent la forme 0/0.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

Une limite n'existe que si la fonction est définie au point.

La limite utilise des entrées proches et distinctes ; c'est la continuité qui exige aussi la valeur au point.

0/0 est égal à zéro.

C'est une forme indéterminée : différentes fonctions peuvent produire des limites différentes ou inexistantes.

Un tableau de cinq valeurs prouve la limite.

Les valeurs numériques suggèrent ; une justification doit maîtriser tout le comportement voisin.