Géométrie, trigonométrie et fonctions

Revoir les trois langages

Un point peut être donné par ses coordonnées ; une distance, par un segment ; une condition géométrique, par une équation. L'utilité de la géométrie analytique est de rendre ces descriptions comparables. Pour deux points A=(a,b) et B=(c,d), les différences horizontales et verticales forment les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle. Pythagore donne AB=√[(c−a)²+(d−b)²]. Le résultat est une distance positive ou nulle et a la même unité que les coordonnées.

Une fonction ajoute une correspondance : chaque entrée autorisée possède une sortie unique. Un cercle entier n'est pas le graphe d'une seule fonction y=f(x), car de nombreuses abscisses correspondent à deux ordonnées. Il peut toutefois être partagé en branches ou décrit par un paramètre. Choisir la représentation adaptée évite d'appliquer des règles de fonctions à des relations qui, sous cette forme, ne sont pas des fonctions.

Équations de lieux géométriques

Les points à une distance r>0 de C=(h,k) satisfont (x−h)²+(y−k)²=r². Cette équation vient directement de la formule de la distance, élevée au carré avec les deux membres positifs ou nuls. Le centre est (h,k), pas (−h,−k). Compléter les carrés permet de reconnaître la même forme lorsque l'expression est développée.

Par exemple, x²+y²−6x+4y−12=0 devient (x−3)²+(y+2)²=25. On a ajouté 9 et 4 pour compléter les carrés et compensé la modification dans l'autre membre. Donc le centre est (3,−2) et le rayon 5. Si le membre droit était négatif, aucun point réel n'existerait ; s'il était nul, il n'y aurait qu'un seul point. La manipulation algébrique doit produire une interprétation cohérente, pas seulement une expression familière.

Le cercle explique les identités

Sur un cercle de rayon r, un point d'angle θ peut s'écrire x=r cos θ et y=r sin θ. Remplacer dans l'équation x²+y²=r² et diviser par r² donne cos²θ+sin²θ=1. L'identité fondamentale est donc Pythagore sous une forme angulaire. Les signes du sinus et du cosinus viennent des coordonnées : dans le deuxième quadrant, x<0 et y>0, donc le cosinus est négatif et le sinus positif.

La mesure d'un angle en radians est la longueur de l'arc divisée par le rayon : θ=s/r. Un tour correspond à 2π rad. Utiliser les radians est essentiel dans les formules de dérivation comme (sin x)′=cos x, car l'échelle angulaire fait partie du taux. La tangente vaut sin θ/cos θ et n'est définie que lorsque cos θ≠0. Diviser une équation par cos θ sans vérifier ses zéros peut supprimer des solutions légitimes ou introduire des expressions dépourvues de sens.

Paramétrer un mouvement circulaire

Avec un paramètre t, on peut décrire le cercle par x(t)=h+r cos(ωt+φ) et y(t)=k+r sin(ωt+φ). Ici, r est le rayon, ω la vitesse angulaire et φ la phase initiale. Si t est le temps en secondes, ω a pour unité rad/s ; la phase et l'argument sont angulaires. La période pour ω≠0 est T=2π/|ω|. Le signe de ω détermine le sens du parcours.

La projection verticale est une fonction sinusoïdale d'amplitude r et de ligne médiane k. Un observateur qui ne voit que y(t) perd la coordonnée horizontale, mais conserve la périodicité. En dérivant, x′=−rω sin(ωt+φ) et y′=rω cos(ωt+φ). La norme de la vitesse vaut r|ω|, car sin²+cos²=1. Cet exemple montre la géométrie, la trigonométrie et les dérivées confirmant une même description, sans confondre trajectoire circulaire et graphe sinusoïdal.

Intersections et solutions supplémentaires

Pour trouver l'intersection d'une droite et d'un cercle, résous le système des deux équations. Remplacer y=mx+b dans l'équation du cercle produit généralement une équation du second degré en x. Un discriminant positif indique deux intersections distinctes, nul une tangence et négatif aucune intersection réelle. Chaque racine en x doit être accompagnée de sa coordonnée y.

Élever au carré exige de surveiller les équivalences. Résoudre √(x+2)=x commence par x≥0, car le membre gauche est positif ou nul. Au carré, on obtient x+2=x², avec les racines 2 et −1 ; la seconde échoue dans l'équation initiale. Les transformations peuvent élargir l'ensemble des candidats. Revenir à la condition initiale est obligatoire, surtout avec des racines, des dénominateurs ou des fonctions réciproques à domaine restreint. Un graphe constitue une bonne vérification visuelle, mais ne remplace pas l'analyse de l'ensemble de définition.

Construire un modèle et l'interroger

Pour une hauteur périodique, la forme H(t)=c+A sin(ωt+φ) permet de séparer quatre choix : c est la ligne médiane, |A| l'amplitude, 2π/|ω| la période et φ fixe la position initiale. Les valeurs maximale et minimale sont c+|A| et c−|A|. Une seule condition initiale peut ne pas déterminer tous les paramètres : il faut aussi connaître le sens de variation ou un autre instant.

La synthèse doit se terminer par des questions de cohérence. Les unités permettent-elles d'additionner les termes ? L'entrée appartient-elle à l'ensemble de définition ? Le résultat respecte-t-il la géométrie ? Combien de solutions attend-on ? Une distance négative révèle une erreur ; deux positions de même hauteur peuvent être parfaitement naturelles. Au lieu de collectionner des formules isolées, identifie l'objet, choisis les coordonnées ou le paramètre, résous et traduis le résultat dans la situation initiale. Les liens servent autant à découvrir qu'à corriger.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

Un cercle entier est toujours y=f(x).

Il peut nécessiter deux branches ou une paramétrisation pour représenter toutes ses positions.

Élever au carré préserve toujours exactement les solutions.

Cela peut ajouter des candidats ; vérifie-les tous dans la relation initiale.

La phase n'influence pas la condition initiale.

La phase décale l'oscillation et détermine la position à l'instant initial.