Variation et approximation

Revoir le sens du taux

Si une fonction f est dérivable en a, le quotient [f(a+h)−f(a)]/h s'approche de f′(a) lorsque h→0. Pour h petit, on peut donc écrire que f(a+h)−f(a) est approximativement égal à f′(a)h. Le produit a la bonne unité : celle de la dérivée est sortie par entrée et celle de h est entrée. L'estimation finale retrouve l'unité de la sortie.

La dérivée ne dit pas que le taux est exactement constant dans un voisinage. Elle dit qu'un taux constant fournit la meilleure description au premier ordre suffisamment près du point. Si une longueur change de 0,02 cm, l'aire d'un carré change d'une manière qui dépend de la longueur initiale. Le même accroissement peut avoir des effets très différents dans des systèmes différents ou dans des régions différentes de la même fonction.

Construire la linéarisation

La droite tangente en a est L(x)=f(a)+f′(a)(x−a). On l'appelle linéarisation de f en ce point. Pour estimer f(a+h), choisis une base a où f(a) et f′(a) sont faciles à calculer. La proximité doit s'évaluer à l'échelle de la fonction, pas seulement au nombre de décimales. Pour √x, approcher 36,4 par une droite en 36 est raisonnable ; utiliser la même droite pour une entrée proche de zéro ne l'est pas.

Il existe une manière précise d'exprimer l'approximation : f(a+h)=f(a)+f′(a)h+r(h), où r(h)/h→0. Le reste r(h) devient petit par rapport à h. Cela n'implique pas qu'il soit nul et ne donne pas à lui seul une borne numérique pour un h choisi. Pour maîtriser quantitativement cette erreur, il faut des informations supplémentaires sur la fonction dans l'intervalle considéré.

Variation exacte, différentielle et erreur

La variation exacte est Δy=f(a+h)−f(a). La différentielle dy=f′(a)h est la variation prévue par la droite. L'erreur signée de l'estimation est L(a+h)−f(a+h) ; l'erreur absolue est sa valeur absolue. Une erreur relative divise l'erreur absolue par la valeur absolue de la valeur exacte, lorsque celle-ci est non nulle. Multiplier par 100 donne l'erreur en pourcentage. Il convient de préciser le dénominateur utilisé, surtout si l'on compare des variations plutôt que des valeurs totales.

Pour f(x)=x², on a Δy=2ah+h² et dy=2ah. La différence est h², qui révèle directement le terme négligé. Avec a=10 et h=0,1, la variation réelle vaut 2,01, tandis que la différentielle vaut 2. L'erreur absolue sur la variation est 0,01 ; relativement à la variation, elle est d'environ 0,498 %, mais relativement à la valeur finale 102,01, elle est d'environ 0,0098 %. Les deux pourcentages répondent à des questions différentes.

Courbure et maîtrise de l'erreur

Lorsque f possède une dérivée seconde continue sur l'intervalle entre a et a+h et que |f″(x)|≤M sur cet intervalle, l'erreur de linéarisation est au plus M h²/2. L'idée est que le taux peut s'écarter de f′(a), mais que cette variation est contrôlée par la courbure ; accumuler cet écart produit un terme quadratique. On utilise ici ce résultat comme approfondissement, pas comme conséquence automatique de l'existence d'une seule dérivée.

Le signe de la courbure guide aussi la prévision. Si f″>0 sur tout le petit intervalle, la courbe est au-dessus de la tangente : L sous-estime f. Si f″<0, la tangente surestime. Pour √x, la dérivée seconde est −1/(4x^3/2) pour x>0 : l'approximation par la tangente surestime donc la valeur. Près de zéro, la valeur absolue de la courbure augmente fortement, ce qui signale qu'une même distance horizontale peut produire une erreur plus grande.

Sensibilité et incertitude de mesure

Si le côté ℓ d'un carré possède une petite incertitude Δℓ, l'aire A=ℓ² a une variation approximative 2ℓΔℓ. En divisant par A, on obtient ΔA/A approximativement égal à 2Δℓ/ℓ. Pour V=ℓ³, l'incertitude relative est proche de 3Δℓ/ℓ. Ces relations supposent de petites variations relatives et un modèle géométrique adapté ; elles ne remplacent pas les intervalles exacts lorsqu'une garantie est exigée.

Une tolérance symétrique sur l'entrée peut produire une tolérance asymétrique sur la sortie. Si ℓ=10±0,1 cm, l'aire est exactement comprise entre 9,9²=98,01 et 10,1²=102,01 cm². L'estimation différentielle serait 100±2 cm². Elle explique bien l'échelle de l'effet, mais les extrêmes exacts montrent le petit terme quadratique. Si la fonction cesse d'être monotone sur l'intervalle d'incertitude, il faut aussi étudier les points intérieurs, et pas seulement remplacer les extrémités.

Application critique et précision

La linéarisation est utile pour le calcul mental, l'étalonnage des instruments et l'analyse de petites perturbations. Elle explique aussi pourquoi toutes les décimales d'une calculatrice ne doivent pas recevoir un sens physique. Une entrée mesurée avec une incertitude transmet celle-ci à la sortie ; davantage de chiffres dans le calcul n'effacent pas la limitation initiale.

Avant d'utiliser une estimation, définis la tolérance acceptable et vérifie l'ensemble de définition sur tout l'intervalle. Un modèle dont le dénominateur est proche de zéro peut fortement amplifier une petite variation. Une linéarisation peut même prévoir des valeurs négatives pour une grandeur toujours positive lorsqu'on l'extrapole trop loin. Il faut alors revenir à la fonction initiale, changer le point de référence ou utiliser une approximation plus élaborée. L'utilité de la méthode dépend de la reconnaissance de cette limite, et non de son application à toute distance.

Exemples résolus, sans sauter d'étapes

Suis d'abord le raisonnement. Cache ensuite la résolution et essaie de la reconstruire avec tes propres mots.

À toi d'essayer maintenant

Il n'y a pas de chronomètre. Écris ce que tu sais, choisis une relation et justifie chaque étape. Les indices et les corrigés sont disponibles lorsque tu en as besoin.

Les erreurs à éviter

La tangente coïncide avec la fonction près du point.

En général, elle ne fait que l'approcher ; il existe un reste qu'il faut évaluer.

Un accroissement de 0,1 est toujours petit.

L'échelle, la proximité des singularités et la courbure déterminent l'erreur.

Les incertitudes relative et absolue ont les mêmes unités.

L'incertitude absolue a l'unité de la grandeur ; l'incertitude relative est un rapport sans dimension.