От треугольника к тригонометрической окружности

Повторение: отношения, сохраняющие угол

В прямоугольном треугольнике для острого угла θ sen θ — противолежащий катет, делённый на гипотенузу, cos θ — прилежащий катет, делённый на гипотенузу, tan θ — противолежащий, делённый на прилежащий. Два прямоугольных треугольника с одинаковым θ подобны, поэтому отношения не зависят от размера. Эта независимость позволяет сопоставить тригонометрические числа самому углу.

Если катеты равны 8 и 15, а гипотенуза — 17, для угла напротив стороны 8 имеем sen θ = 8/17, cos θ = 15/17 и tan θ = 8/15. Теорема Пифагора подтверждает 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17². При смене угла катеты меняются ролями, но гипотенуза остаётся той же.

Обычный прямоугольный треугольник представляет только острые углы, хотя направление можно повернуть на 120°, на −45° или на несколько оборотов. Для таких случаев нужна модель с отрицательными координатами и ориентированными поворотами. Это окружность радиуса 1 с центром в начале координат.

Повороты и определение радиана

Ориентированный угол начинается на начальном луче и заканчивается на другом после поворота. В декартовой плоскости началом служит положительная полуось x. Направление против часовой стрелки положительно, по часовой — отрицательно. Полный оборот равен 360°, но деление на градусы — человеческое соглашение.

Радиан возникает из геометрии: если дуга длины s окружности радиуса r стягивает центральный угол θ, его радианная мера определяется как θ = s/r. Поскольку длины имеют одинаковую единицу, отношение безразмерно. Можно писать «rad», напоминая об угловом соглашении, особенно в физических приложениях.

Длина полного оборота 2πr, значит его мера 2π rad. Поэтому 180° = π rad и 90° = π/2 rad. Для перевода градусов в радианы умножь на π/180; обратно — на 180/π. Формула s = rθ требует θ в радианах. Подстановка численного значения в градусах без перевода даёт неверный масштаб.

Координаты как синус и косинус

На единичной окружности x² + y² = 1 поверни луч на угол θ от положительной полуоси x и обозначь P точку пересечения с окружностью. cos θ определяется как абсцисса P, а sen θ — как ордината. Поэтому порядок пары: P = (cos θ, sen θ).

В первой четверти перпендикуляр к оси x образует прямоугольный треугольник с гипотенузой 1. Координаты совпадают с отношениями сторон: прилежащий/1 и противолежащий/1. Так новое определение продолжает прежнее без противоречия. В других четвертях координаты дают знаки, которые длины катетов дать не могут.

Четверти, опорные углы и обороты

В первой четверти синус и косинус положительны. Во второй синус положителен, косинус отрицателен. В третьей оба отрицательны. В четвёртой синус отрицателен, косинус положителен. Знаки можно восстановить по направлениям вверх/вниз и влево/вправо, без заучивания вспомогательной фразы.

Углы, отличающиеся на целый оборот, заканчиваются в одной точке. Значит, sen(θ + 2kπ) = sen θ и cos(θ + 2kπ) = cos θ для любого целого k. Например, 390° и 30° отличаются на 360° и имеют одинаковые координаты. Это не означает одинакового пройденного поворота; совпадает конечная точка.

Опорный угол — острый угол с горизонтальной осью, если конечная сторона не лежит на оси. Для 150° опорный угол 30°: точка слева и сверху, значит sen 150° = sen 30° и cos 150° = −cos 30°. Отражение относительно оси x даёт sen(−θ) = −sen θ и cos(−θ) = cos θ. Знаки следуют из симметрий.

Получение точных значений и тождеств

Равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами 1 имеет гипотенузу √2, значит sen 45° = cos 45° = 1/√2 = √2/2. Для 30° и 60° раздели пополам равносторонний треугольник со стороной 2: получишь гипотенузу 2, меньший катет 1 и высоту √3. Отсюда sen 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, sen 60° = √3/2 и cos 60° = 1/2.

На осях координаты прямо дают cos 0 = 1 и sen 0 = 0; cos(π/2) = 0 и sen(π/2) = 1; cos π = −1 и sen π = 0. Эти значения входят в определение на окружности и не требуют треугольника с положительным катетом в каждом направлении.

Подстановка x = cos θ и y = sen θ в x² + y² = 1 даёт cos² θ + sen² θ = 1. Запись sen² θ означает (sen θ)², а не sen(θ²). Определяют tan θ = sen θ/cos θ при cos θ ≠ 0. Поэтому тангенс не существует при θ = π/2 + kπ для целого k. Тождество не разрешает игнорировать знак при восстановлении синуса или косинуса из квадрата.

От единичной окружности к любому радиусу

Если окружность имеет радиус r и центр в начале координат, точка с углом θ имеет координаты (r cos θ, r sen θ). Это увеличение единичной окружности в r раз. При r = 10 m и θ = 60° получаем x = 5 m и y = 5√3 m. Расстояние до начала подтверждает √(25 + 75) = 10 m.

Площадь кругового сектора также соответствует доле оборота: A = (θ/(2π))πr² = r²θ/2, где в конечном выражении θ в радианах. Угол π/3 — шестая часть оборота, поэтому его дуга составляет шестую часть периметра, а сектор — шестую часть площади круга.

Для приближённых вычислений проверь режим DEG или RAD калькулятора. sen(30°) = 0,5, но sen(30 rad) не равен 0,5. По возможности сохраняй π в точных ответах; округление π до завершения даёт лишнюю ошибку. Если указана четверть, используй её для выбора знака корня при применении основного тождества.

Решённые примеры без пропуска шагов

Сначала проследи рассуждение. Затем закрой решение и попробуй восстановить его своими словами.

Теперь попробуй сам

Секундомера нет. Запиши известное, выбери соотношение и обоснуй каждый шаг. Подсказки и решения доступны, когда понадобятся.

Ошибки, которых стоит избегать

Радианы — другое название градусов.

Это другая мера того же раскрытия; оборот равен 360° или 2π rad.

Точка окружности — (синус, косинус).

Декартов порядок — (косинус, синус).

При восстановлении косинуса всегда подходит положительный корень.

Четверть определяет положительный или отрицательный знак косинуса.

Тангенс существует для всех углов.

Он является отношением и требует ненулевого косинуса.