Векторы и одномерное движение

Величины, которым нужно направление

Масса 2 kg или длительность 6 s определяются значением и единицей: это скаляры. Перемещение 6 m требует направления: куда оно произошло? Перемещение, скорость, ускорение и сила — векторы. У вектора есть модуль, направление прямой и ориентация вдоль неё. Прямая может быть горизонтальной; две её ориентации — вправо и влево.

Изображаем векторы стрелками. Длина стрелки в указанном масштабе представляет модуль; наконечник — направление. На прямой достаточно выбрать ориентированную ось и работать со знаковыми составляющими. Если вправо положительно, v = −4 m/s означает скорость модулем 4 m/s влево.

Модуль вектора никогда не отрицателен. Составляющая может быть отрицательной, поскольку зависит от выбора оси. Обращение оси меняет знаки составляющих, не меняя физический опыт. Поэтому ось нужно указывать до уравнений, а не добавлять знаки по интуиции в конце.

Сложение векторов на одной прямой

Векторную сумму можно нарисовать, поместив начало стрелки в конец предыдущей. Результирующий вектор соединяет первое начало с последним концом. Параллельный перенос стрелки без изменения длины и направления позволяет такое построение свободных векторов, используемых в описании движения.

На прямой построение соответствует алгебраической сумме составляющих. Перемещение +9 m, затем −4 m даёт +5 m. Путь равен 13 m и не является векторной суммой: складываются модули участков. Вычитание A − B — сумма A + (−B); вектор −B имеет тот же модуль и противоположное B направление.

Когда векторы не коллинеарны, нельзя просто складывать их модули. Перемещение 3 m на восток, затем 4 m на север имеет результирующий модуль 5 m по теореме Пифагора, а не 7 m. В этом уроке динамический анализ одномерен, но различие готовит к движению на плоскости.

Координата, скорость и ускорение

Выбери x(t) как координату в метрах, t как время в секундах. Перемещение Δx — конечная x минус начальная. Средняя скорость за интервал Δx/Δt. Мгновенная скорость — скорость изменения координаты в данный момент, представленная наклоном касательной к x(t). Мгновенный модуль скорости |v|.

Среднее ускорение Δv/Δt. Мгновенное — местная скорость изменения скорости, измеряется в m/s². На графике v(t) местный наклон представляет ускорение. На a(t) площадь со знаком даёт изменение скорости. Заметь цепочку: каждая величина описывает изменение предыдущей.

Положение x = 0 не требует v = 0. Нулевая v в один момент не требует a = 0: брошенный вертикально вверх предмет мгновенно останавливается наверху, но продолжает ускоряться силой тяжести. Условие в момент не равно условию на всём интервале.

Построение модели постоянного ускорения

Если ускорение a постоянно, каждый равный интервал времени даёт одинаковое изменение скорости. Определение a = (v − v₀)/Δt можно преобразовать: v = v₀ + aΔt. v₀ — скорость в начальный момент t₀; Δt = t − t₀. Только при t₀ = 0 можно писать Δt просто как t без потери информации.

График v(t) — прямая. Средняя скорость за интервал (v₀ + v)/2, поскольку площадь трапеции — средняя высота на основание. Тогда Δx = [(v₀ + v)/2]Δt. Подставляя v = v₀ + aΔt, получаем x = x₀ + v₀Δt + a(Δt)²/2.

Можно также исключить время. Умножив v − v₀ = aΔt на v + v₀ и используя 2Δx = (v + v₀)Δt, получаем v² − v₀² = 2aΔx. Это полезно без известной длительности. Все три соотношения требуют постоянного ускорения; это не универсальные определения любого движения.

Геометрия графиков проверяет алгебру

При постоянном ненулевом ускорении x(t) — парабола, v(t) — наклонная прямая, a(t) — горизонтальная линия. Знак a определяет направление ветвей x(t). Однако возрастающая парабола может иметь отрицательное a: она поднимается всё медленнее до нулевого наклона.

Площадь со знаком под v(t) — перемещение. Если v проходит через ноль, раздели интервал в момент перехода. Для пути сложи модули обеих площадей. Нельзя просто брать модуль общей площади: это стёрло бы путь до смены направления.

Таблица последовательных моментов помогает распознать закономерности. При постоянном a и шагах 1 s разности v одинаковы. Разности x неодинаковы, поскольку координата меняется квадратично. График — не последующее украшение: он может показать смену направления, скрытую в вычислении без понимания.

Знаки, остановки и применимость

Тело замедляется, когда скорость и ускорение противоположны; модуль скорости растёт, когда их направления совпадают. «Отрицательное ускорение» сообщает лишь направление по выбранной оси. Транспорт, движущийся влево, может увеличивать модуль скорости при отрицательных v и a.

Чтобы найти остановку, реши v = 0. Затем проверь, принадлежит ли найденный момент физическому интервалу. Уравнение с отрицательным ускорением может предсказать смену направления после остановки; при реальном торможении водитель может изменить силу и ускорение станет другим. Модель должна остановиться там, где меняются условия.

При свободном падении около Земли без воздуха вертикальное ускорение приблизительно постоянно. При положительной оси вверх a = −g и g = 9,8 m/s² в этом уроке. Масса не входит в уравнения модели. Для предметов с существенным сопротивлением воздуха, например развёрнутого листа, допущение не описывает опыт достаточно хорошо.

Решённые примеры без пропуска шагов

Сначала проследи рассуждение. Затем закрой решение и попробуй восстановить его своими словами.

Теперь попробуй сам

Секундомера нет. Запиши известное, выбери соотношение и обоснуй каждый шаг. Подсказки и решения доступны, когда понадобятся.

Ошибки, которых стоит избегать

Отрицательный вектор имеет отрицательный модуль.

Составляющая может быть отрицательной; модуль всегда неотрицателен.

v = v₀ + at подходит для любого ускорения.

Форма с произведением at требует постоянного a на интервале.

Путь всегда равен модулю перемещения.

При смене направления складывай длины участков отдельно.