Последовательности и прогрессии

Основы: позиция не равна значению

Последовательность — функция на последовательных целых позициях, например n = 1, 2, 3, …. Обозначаем uₙ член с номером n. В последовательности 7, 11, 15, 19, … имеем u₁ = 7 и u₃ = 15. Индекс 3 — позиция, а 15 — значение на ней; это не два способа записи одного числа.

Некоторые последовательности начинаются с n = 0. При vₙ = 5 × 2ⁿ для n = 0, 1, 2, … первое значение v₀ = 5. Если начать с n = 1, первое значение того же выражения будет 10. Перед применением формулы прочитай, с чего начинается индекс и какую величину представляет член.

На графике последовательности отмечают точки (n, uₙ). Аргументы вроде n = 2,5 автоматически не существуют. Соединение точек линией помогает видеть тенденцию, но вводит промежуточные значения вне исходной области. Функция действительной переменной может служить продолжением, если признать это новым выбором.

Явные правила, рекурсия и ограничения закономерности

Явное правило вычисляет член прямо по индексу. Для uₙ = 4n + 3, n ≥ 1, находим u₁₀ = 43 без вычисления девяти предыдущих. Рекуррентное правило вычисляет по предыдущим членам и требует начальных данных: u₁ = 7 и uₙ₊₁ = uₙ + 4 при n ≥ 1 задают ту же последовательность.

Одной рекурсии недостаточно. Правило «прибавить 4 к предыдущему» может начинаться с 7, −2 или другого числа, давая разные последовательности. Рекурсия с двумя предыдущими членами, например uₙ₊₂ = uₙ₊₁ + uₙ, обычно требует двух начальных значений.

Наблюдение 2, 4, 6 не доказывает, что следующий член 8. Это естественно при предположении постоянной разности, но другие правила совпадают в первых трёх членах. Например, uₙ = 2n + (n − 1)(n − 2)(n − 3) даёт 2, 4, 6, затем 14. Различай «предлагаемое правило» и «вынужденный данными вывод». Математическое обоснование работает с правилом, а не только с видом.

Арифметическая прогрессия: рост сложением

В арифметической прогрессии, или PA, разность соседних членов постоянна: uₙ₊₁ − uₙ = d. Число d называют разностью PA. Оно может быть положительным, отрицательным или нулевым. Начиная с u₁, второй член u₁ + d, третий u₁ + 2d, и после n − 1 переходов общий член равен:

Множитель n − 1 считает переходы от первого члена к члену номера n. От позиции 1 к позиции 6 пять переходов, а не шесть. При индексе с нуля формула uₙ = u₀ + nd. Это различие соглашений, а не противоречие.

При d > 0 PA строго возрастает; при d < 0 убывает; при d = 0 постоянна. Для двух членов uⱼ − uᵢ = (j − i)d. Знание двух разных позиций и значений позволяет найти d. Это структура аффинной функции только на целых аргументах с одинаковым приростом за шаг.

Сложение PA попарным объединением

Обозначь Sₙ сумму первых n членов. Запиши её в прямом и обратном порядке. При почленном сложении каждая пара равна u₁ + uₙ: первый и последний, второй и предпоследний и так далее. При сложении двух копий суммы имеется n пар, поэтому 2Sₙ = n(u₁ + uₙ).

Деление на два исправляет двойной подсчёт суммы. Рассуждение работает и при нечётном n: две копии избегают затруднения с центральным членом. Отдельное правило для нечётного числа членов не нужно.

Например, ряд блоков содержит 6 деталей, следующий 9, затем 12, с постоянным увеличением на 3. В шестом 6 + 5 × 3 = 21 деталь. Всего в шести рядах 6(6 + 21)/2 = 81 деталь. u₆ измеряет детали одного ряда; S₆ — всех шести. Путаница члена и суммы отвечает на другой вопрос.

Геометрическая прогрессия: рост с множителем

В геометрической прогрессии, или PG, каждый член получают умножением предыдущего на постоянный множитель q: uₙ₊₁ = quₙ. При ненулевом первом члене и q ≠ 0 отношение uₙ₊₁/uₙ подтверждает знаменатель. После n − 1 умножений uₙ = u₁qⁿ⁻¹. При q = 0 рекурсия даёт u₁, 0, 0, …; рассматривай этот случай прямо, избегая деления на нулевые члены.

Постоянный процент даёт постоянный множитель: рост на 15% равен умножению на 1,15; снижение на 15% — на 0,85. Процентный прирост не равен постоянному абсолютному. Начиная со 100, два роста на 15% дают 100 × 1,15² = 132,25, поскольку второй рост применяется к 115.

При u₁ > 0, q > 1 даёт рост; 0 < q < 1 — убывание положительных значений. При q < 0 знаки чередуются, поэтому «всегда возрастает» обычно теряет смысл. Величина зависит от |q|. Например, при q = −1/2 знаки чередуются, а модули убывают. Условие на u₁ важно для утверждения монотонности.

Сложение и сравнение мультипликативных моделей

Для конечной PG, Sₙ = u₁ + u₁q + … + u₁qⁿ⁻¹. Умножение на q сдвигает члены на позицию. Вычитание равенств сокращает промежуточные члены и даёт Sₙ − qSₙ = u₁ − u₁qⁿ. Поэтому при q ≠ 1, Sₙ = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q). При q = 1 все члены равны u₁ и Sₙ = nu₁.

Бесконечную сумму не получают простым удалением последнего члена. При |q| < 1 величина qⁿ приближается к нулю, а конечные суммы — к u₁/(1 − q). Это предел частичных сумм. Вне условия обычно нет конечной бесконечной суммы по этой формуле; случай всех нулевых членов тривиален, его нужно различать.

Сравнивая PA и PG, укажи горизонт и параметры. PG со знаменателем 0,9 убывает, а не растёт быстрее возрастающей PA. В приложениях множители и приросты могут меняться со временем. Регулярная модель полезна при принятых предположениях; она не гарантирует вечного сохранения правила популяциями, ценами или ресурсами.

Решённые примеры без пропуска шагов

Сначала проследи рассуждение. Затем закрой решение и попробуй восстановить его своими словами.

Теперь попробуй сам

Секундомера нет. Запиши известное, выбери соотношение и обоснуй каждый шаг. Подсказки и решения доступны, когда понадобятся.

Ошибки, которых стоит избегать

Индекс n — значение члена.

n указывает позицию; uₙ — число на этой позиции.

В формуле от первого члена n приростов.

От позиции 1 до позиции n имеется n − 1 переходов.

Постоянный процент создаёт PA.

Он создаёт умножение на постоянный множитель, то есть PG при сохранении условий.

Формула геометрической суммы всегда разрешает бесконечное число членов.

Для нетривиального конечного предела требуется |q| < 1.