Подобие, теорема Пифагора и тригонометрия

Основы: углы, стороны и пропорциональность

У треугольника три стороны и три внутренних угла с суммой 180° в плоской евклидовой геометрии. При угле 90° треугольник прямоугольный. Противолежащая прямому углу сторона — гипотенуза, наибольшая сторона. Остальные — катеты. Гипотенуза не зависит от положения листа или видимого наклона стороны.

Отношение сравнивает два количества делением. Для длин одной единицы это безразмерное число: 6 cm/3 cm = 2. Пропорция утверждает равенство отношений. В 6/3 = 10/5 обе пары имеют одинаковый множитель масштаба. Если a/b = c/d и b,d ≠ 0, умножение на знаменатели даёт ad = bc.

Всегда рисуй до вычислений. Отметь прямой угол, данные, неизвестное и единицы. Рисунок организует информацию, но не доказывает равенство сторон или прямой угол; свойства должны следовать из данных или довода. Если рисунок не в масштабе, доверие внешнему виду особенно обманчиво.

Подобие: сохранить форму, изменить размер

Треугольники подобны, когда соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны. Соответствие существенно: сторону между A и B сравнивают со стороной между соответствующими A′ и B′. Правильный порядок вершин избегает смешения сторон с разными ролями.

Для треугольников достаточно двух пар равных углов: третий совпадает по сумме 180°, и форма определяется. Подобие также доказывается тремя парами пропорциональных сторон или двумя парами и равенством угла между ними. Одного равного угла недостаточно.

При масштабе перехода k > 0 каждая длина и периметр умножаются на k. Площадь — на k², поскольку основание и высота — длины. При k = 3 стороны в три раза больше, площадь — в девять. Подобие сохраняет форму, но не площадь и не делает фигуры одинакового размера.

Почему возникает сумма квадратов

В прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c теорема Пифагора утверждает a² + b² = c². Равенство можно понять площадями. Размести четыре копии треугольника в квадрате стороны a + b, оставив в центре квадрат стороны c. Полная площадь (a + b)²; сумма четырёх треугольных площадей 4(ab/2) = 2ab.

Значит, центральная площадь (a + b)² − 2ab = a² + b², но также c². Отсюда связь. Объяснение требует прямого угла и построения центрального квадрата. Оно не применяется автоматически к косоугольному треугольнику без такого расположения.

Для гипотенузы вычисляем c = √(a² + b²), выбирая положительный корень как длину. Для катета a используем a = √(c² − b²). Вычитание требует, чтобы c было гипотенузой. Обратное тоже верно: если квадрат большей стороны равен сумме квадратов остальных, треугольник прямоугольный.

Высота к гипотенузе и метрические соотношения

Пусть ABC прямоугольный в C. Обозначим c длину гипотенузы AB, b — катета AC, a — BC. Проведи высоту CH к гипотенузе: H принадлежит AB, CH перпендикулярна AB, её длина h. Части гипотенузы AH = p и HB = q, значит c = p + q. Буквы здесь означают положительные длины.

Два малых треугольника подобны исходному: у каждого прямой угол и общий острый. Для AHC и ABC сравнение соответствующих сторон даёт b/c = p/b. Умножение на bc даёт b² = cp. Аналогично со стороны B, a² = cq. Квадрат каждого катета равен гипотенузе, умноженной на проекцию катета на неё.

Связь высоты выводится из малого AHC: h² = b² − p². При b² = cp и c = p + q получаем h² = p(p + q) − p² = pq. Значит h² = pq. Сложение соотношений катетов даёт a² + b² = c(p + q) = c², восстанавливая Пифагора. Это не три независимых правила для заучивания: они связаны одним подобием.

Пример: при p = 9 cm и q = 16 cm имеем c = 25 cm. Высота √(9 × 16) = 12 cm. Катеты b = √(25 × 9) = 15 cm и a = √(25 × 16) = 20 cm. Проверка: 15² + 20² = 625 = 25². Единицы тоже согласованы: произведение длин даёт квадрат длины.

Соотношения требуют прямоугольного треугольника и высоты к его гипотенузе. Произвольную высоту косоугольного нельзя автоматически подставить в h² = pq. Нарисуй, найди прямой угол и только затем сопоставь проекцию катету.

Синус, косинус и тангенс: отношения угла

Выбери острый θ прямоугольного треугольника. Противолежащий катет не касается угла; прилежащий касается и не является гипотенузой. При выборе другого острого угла катеты меняются ролями. Гипотенуза та же. Такое определение предшествует выбору формулы.

Почему отношения зависят только от угла, а не размера? Два прямоугольных треугольника с одним θ имеют одинаковый третий угол и подобны. Умножение всех сторон на k умножает числитель и знаменатель на один сокращающийся множитель. Тригонометрия организует пропорциональность.

Синус и косинус острого угла между 0 и 1, поскольку катет меньше гипотенузы. Тангенс может превышать 1. tan θ = sen θ/cos θ следует из деления двух отношений. Длины измеряй в одной единице; синус, косинус и тангенс безразмерны.

Понять треугольник несколькими путями

Длины удовлетворяют 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13². Для отмеченного угла sen θ = 5/13, cos θ = 12/13 и tan θ = 5/12. Для точных отношений вычислять угол не нужно. При удвоении стороны 10, 24 и 26; отношения сохраняются.

Для восстановления θ из тангенса используем обратный arctan: θ = arctan(5/12) ≈ 22,62°. Проверь режим калькулятора: численные углы со значком ° здесь в градусах. arctan(5/12) в радианах был бы другим числом того же раскрытия. Слишком раннее округление отношения снижает точность угла.

Выбрать связь и проверить предположения

Если известны две стороны прямоугольного треугольника и нужна третья, обычно хватает Пифагора. При остром угле и стороне тригонометрическое отношение связывает их с искомой. При сравнении фигур одной формы подобие может избежать вычисления углов. Выбор зависит от информации, а не последней изученной формулы.

Для оценки высоты по теням солнечные лучи должны считаться параллельными, земля примерно плоской, измерения одновременными. Вертикальный шест и конструкция тогда дают подобные треугольники. При разных уклонах местности простая пропорция не обоснована.

При измерении угла возвышения треугольник образуют горизонталь, линия зрения и высота над глазами. При горизонтальном расстоянии d и угле θ эта высота d tan θ. Для полной высоты добавь высоту глаз. Оценка обусловлена неопределённостями расстояния, угла и модели местности.

Решённые примеры без пропуска шагов

Сначала проследи рассуждение. Затем закрой решение и попробуй восстановить его своими словами.

Теперь попробуй сам

Секундомера нет. Запиши известное, выбери соотношение и обоснуй каждый шаг. Подсказки и решения доступны, когда понадобятся.

Ошибки, которых стоит избегать

Гипотенуза всегда нарисована по диагонали.

Это сторона напротив 90°, независимо от ориентации фигуры.

Пифагор верен для любого треугольника.

a² + b² = c² требует прямоугольного треугольника с гипотенузой c.

Противолежащий катет всегда имеет то же название.

Противолежащий и прилежащий зависят от выбранного угла.

Масштаб 3 умножает площадь на 3.

Он умножает длины на 3, площади на 9.