Uma introdução à física moderna

Um modelo pode funcionar muito bem e ainda ter limites

As leis de Newton permitem estudar movimentos de objetos em muitas situações quotidianas. A ótica ondulatória explica interferência e difração. O êxito desses modelos não significa que cada um descreva todos os fenómenos à escala atómica ou a velocidades próximas da da luz. Um modelo é avaliado pelas previsões que faz e pelas condições em que concorda com a experiência.

Quando a experiência revela uma regularidade incompatível com um modelo, precisamos de rever as suas hipóteses. Isso não transforma todos os seus resultados em erros. A mecânica clássica continua a ser uma excelente aproximação para muitos movimentos macroscópicos com rapidez muito menor que c. Uma teoria mais ampla deve explicar por que essa aproximação funciona no seu domínio.

Nesta aula construiremos uma primeira ligação entre três áreas: física quântica, física atómica/nuclear e relatividade especial. Não são uma coleção de nomes misteriosos: respondem a perguntas concretas. Por que certos metais só emitem eletrões acima de uma frequência da luz? Por que os átomos produzem linhas espectrais? Por que a energia de uma partícula com massa não é dada por mv²/2 quando v se aproxima de c?

Rever energia, frequência e as escalas microscópicas

Energia mede-se em joules, J. Para processos atómicos, o joule é uma unidade muito grande comparado com as energias envolvidas. Usa-se frequentemente o eletrão-volt, eV: a energia correspondente ao módulo da carga elementar a atravessar uma diferença de potencial de um volt. A conversão é aproximadamente 1 eV = 1,602 × 10⁻¹⁹ J. O eV é energia, não tensão.

A frequência f de uma onda é o número de ciclos por segundo, em Hz. No vazio, a radiação eletromagnética obedece a c = λf, onde λ é o comprimento de onda e c ≈ 3,00 × 10⁸ m/s. Quanto menor λ, maior f. Não confundas frequência com intensidade: é possível aumentar a energia total de um feixe sem alterar a frequência, aumentando a quantidade de radiação que atravessa uma área por unidade de tempo.

Nas contas usaremos h ≈ 6,626 × 10⁻³⁴ J·s para a constante de Planck. Ter uma constante com valor muito pequeno em unidades SI ajuda a perceber por que os efeitos quânticos são mais evidentes nas escalas microscópicas. As potências de dez precisam de cuidado: 1 nm = 10⁻⁹ m e 1 μm = 10⁻⁶ m.

O que significa quantização da radiação

A radiação eletromagnética pode trocar energia com a matéria em quanta chamados fotões. A energia de um fotão de frequência f é E = hf, ou E = hc/λ no vazio. Esta relação liga a descrição por frequência à energia de uma interação individual. O produto J·s × s⁻¹ tem unidade de joule.

Um fotão de frequência maior tem mais energia. Aumentar apenas a intensidade de um feixe de frequência fixa significa, no modelo, aumentar o número médio de fotões que chegam por unidade de tempo e área. Não aumenta a energia hf de cada um. Se o feixe transportar energia total E_feixe com fotões de uma mesma frequência, o número aproximado será E_feixe/(hf).

Isso não elimina a descrição ondulatória: interferência e difração continuam a ser observadas. A física quântica prevê tanto o padrão estatístico de muitos eventos como a deteção localizada de cada evento. As imagens clássicas de «onda material espalhada» e «bolinha» são analogias limitadas. O formalismo quântico não exige que uma partícula seja literalmente uma pequena esfera a oscilar como uma corda.

O efeito fotoelétrico: interpretar um limiar

Ao iluminar uma superfície adequada, podem ser emitidos eletrões. Na descrição fotoelétrica simples de um fotão por eletrão, parte da energia recebida é necessária para libertar o eletrão do material. Essa energia mínima chama-se função trabalho, φ, e depende da superfície. A conservação de energia conduz a K_máx = hf − φ, quando hf é suficiente para permitir a emissão.

O limiar de frequência é f₀ = φ/h. Abaixo dele, a conta hf − φ seria negativa: não significa que o eletrão saiu com energia cinética negativa. Significa que a emissão não é permitida nesse modelo. Acima do limiar, aumentar a frequência aumenta a energia cinética máxima; aumentar intensidade a frequência fixa pode aumentar a quantidade de eletrões emitidos, respeitando as condições da superfície e do dispositivo.

Num ensaio com potencial retardador, o módulo U_travagem necessário para impedir a chegada dos eletrões mais energéticos satisfaz eU_travagem = K_máx. Nem todos os eletrões emitidos têm a energia máxima, pelo que esta relação descreve um extremo da distribuição. A explicação introdutória pressupõe radiação e regime adequados; fenómenos de múltiplos fotões e outros detalhes exigem modelos mais completos.

Matéria com comprimento de onda e previsões probabilísticas

A difração não é exclusiva da luz. Eletrões e outras partículas materiais também podem produzir padrões de interferência. A relação de de Broglie associa comprimento de onda e momento: λ = h/p. Para uma partícula com massa m e rapidez suficientemente pequena face a c, podemos usar p ≈ mv; a relação do momento precisa de correção relativística a velocidades elevadas.

Uma partícula macroscópica, com momento grande em unidades SI, tem comprimento de onda extremamente pequeno. Isso ajuda a explicar por que não vemos normalmente uma bola a difratar ao atravessar uma porta. Já um eletrão pode ter comprimento de onda comparável à separação entre átomos num cristal, permitindo efeitos observáveis. A comparação entre escalas importa tanto como a fórmula.

O estado quântico permite calcular probabilidades dos resultados de medições. Isso não é apenas falta de cuidado experimental: experiências preparadas da mesma forma produzem distribuições que a teoria prevê. O princípio de incerteza para posição e momento pode escrever-se ΔxΔp ≥ h/(4π), em que Δx e Δp representam dispersões estatísticas apropriadas. Não afirma que «nada se pode saber» nem é apenas uma avaria de um instrumento; limita a preparação simultânea dessas distribuições.

Níveis de energia e linhas do espectro

Um átomo contém um núcleo e eletrões. A atração elétrica é importante para a estrutura atómica, mas imaginar eletrões a percorrer órbitas planetárias clássicas não descreve adequadamente todos os fenómenos. No tratamento quântico, os estados eletrónicos permitidos apresentam energias e distribuições espaciais características; um orbital não é uma pista rígida por onde se observa o eletrão a circular.

Ao passar de um estado de energia mais alta E_i para outro mais baixo E_f, o átomo pode emitir um fotão com hf = E_i − E_f. Na absorção, uma diferença de energia pode ser fornecida pela radiação. Como as energias dos estados ligados não preenchem um contínuo arbitrário, observam-se linhas associadas a certas diferenças. Existem também regras de seleção e outros detalhes: a igualdade de energias é uma condição importante, não uma descrição completa de todas as probabilidades de transição.

Para os níveis do hidrogénio num modelo introdutório, E_n ≈ −13,6 eV/n², com n inteiro positivo e referência zero no limiar de ionização. O sinal negativo indica um estado ligado. O estado n = 1 é mais baixo que n = 2. A fórmula prevê bem uma estrutura básica de um átomo de um eletrão, mas não deve ser usada sem alterações para todos os átomos. A descrição quântica moderna também explica aspetos que o modelo de Bohr não descreve.

O núcleo e os tipos de transformação radioativa

O núcleo contém protões e, nos isótopos usuais exceto o hidrogénio mais simples, neutrões. O número de protões Z identifica o elemento. O número de massa A conta protões e neutrões; não é a massa em quilogramas. Isótopos do mesmo elemento têm igual Z e diferente número de neutrões. Transições dos eletrões e transformações do núcleo pertencem a escalas e mecanismos distintos.

Alguns núcleos são instáveis e transformam-se espontaneamente. Na emissão alfa, o núcleo emite uma partícula com dois protões e dois neutrões: o núcleo residual tem Z diminuído de 2 e A diminuído de 4. Na emissão beta menos, um neutrão transforma-se num protão com emissão de um eletrão e de um antineutrino: Z aumenta de 1 e A não muda. O eletrão beta não é simplesmente um eletrão que já orbitava o núcleo e foi arrancado dele. Na emissão gama, o núcleo passa a um estado de menor energia emitindo um fotão, sem alterar Z ou A.

Nas reações, conservam-se as grandezas adequadas do sistema completo, incluindo energia, momento e carga. Ionização significa remover ou acrescentar eletrões a um átomo; não é o mesmo que alterar o seu núcleo. Radiação ionizante pode produzir ionização, mas atividade, energia por evento e efeito num material são grandezas diferentes. Esta aula aborda modelos, sem orientar experiências com fontes radioativas.

Uma lei estatística não é um relógio de cada núcleo

Para uma população grande de núcleos de um dado radionuclídeo no modelo de decaimento exponencial, o número esperado ainda não transformado é N(t) = N₀e^−λt. A constante de decaimento λ é positiva e tem unidade inversa do tempo. O sinal negativo descreve a diminuição da população original. Os núcleos transformados não deixaram de existir como matéria: deram origem a produtos de decaimento.

A meia-vida T_1/2 satisfaz N(T_1/2) = N₀/2. Da relação exponencial resulta λ = ln 2/T_1/2 e N(t) = N₀(1/2)^t/T₁/₂. Depois de duas meias-vidas sobra em média um quarto, não zero. A lei não escolhe qual núcleo se transforma primeiro. Para populações pequenas, as flutuações relativas são importantes.

A atividade A = λN mede o número esperado de transformações por segundo quando λ está em s⁻¹; a unidade é becquerel, Bq. Não confundas a atividade com a energia libertada por segundo, que também depende da energia de cada evento e dos produtos. Em cadeias de decaimento, os produtos podem ainda ser instáveis; uma única exponencial pode não descrever toda a atividade medida. Especifica sempre qual população e qual processo foram modelados.

Referenciais, velocidade da luz e energia de repouso

A relatividade especial parte da equivalência das leis físicas em referenciais inerciais e da invariância da rapidez da luz no vazio, c, para esses observadores. Um referencial inercial é aquele em que um corpo sem força resultante tem movimento retilíneo uniforme. A teoria descreve medições de espaço e tempo entre observadores; não afirma que todas as afirmações são relativas ou que qualquer valor pode ser escolhido.

A comparação de relógios e comprimentos envolve a definição dos eventos e da simultaneidade em cada referencial. Uma consequência é o fator γ = 1/√(1 − v²/c²). Para uma partícula com massa de repouso m, a energia total de partícula livre é E = γmc², a energia de repouso é E₀ = mc² e a energia cinética é K = (γ − 1)mc². Quando v é muito menor que c, a aproximação recupera K ≈ mv²/2.

Quando v se aproxima de c, γ cresce sem limite; uma partícula com massa não pode ser acelerada até c por um fornecimento finito de energia. Um fotão tem massa de repouso nula e energia E = pc: não se deve substituir m = 0 em γmc² com v = c, pois a expressão de γ aí não é finita. As fórmulas precisam do seu domínio, tal como em álgebra.

O que muda numa reação que liberta energia

A massa de repouso de um sistema está ligada à sua energia no referencial em que o momento total é zero. Se um conjunto perde energia para o exterior, a massa do sistema que ficou pode diminuir. Em física nuclear, uma diferença entre as massas de repouso totais dos reagentes e produtos pode corresponder a energia cinética e radiação: Q da reação = (m inicial − m final)c², incluindo corretamente todas as partículas relevantes.

Não é correto dizer apenas que «a massa desaparece» e esquecer a energia que saiu. O balanço do sistema completo continua a conservar energia e momento. Também não se pode transformar arbitrariamente toda a massa de um objeto em energia útil num dispositivo: o facto de mc² ser grande não descreve um mecanismo disponível nem um rendimento.

Estas ideias ligam temas já estudados. O fotão transporta energia e momento; o núcleo pode emitir um fotão e recuar; uma transição precisa de respeitar o balanço do sistema. Compreender os princípios prepara o estudo posterior das equações quânticas e relativísticas. Aqui procuramos uma base conceptual e cálculos introdutórios, sem apresentar uma teoria completa em poucas páginas.

Exemplos resolvidos, sem saltar passos

Acompanha primeiro o raciocínio. Depois tapa a resolução e tenta reconstruí-la com as tuas palavras.

Agora, experimenta tu

Não há cronómetro. Escreve o que sabes, escolhe uma relação e justifica cada passo. As pistas e soluções ficam disponíveis quando precisares.

Erros que vale a pena evitar

Uma teoria nova torna inútil tudo o que veio antes.

Os modelos clássicos continuam úteis nos regimes em que são boas aproximações; as teorias ampliadas explicam os seus limites.

Mais intensidade dá mais energia a cada fotão.

A energia individual depende da frequência. A intensidade pode mudar o número médio de fotões incidentes.

Um orbital é uma órbita planetária desenhada com pouca precisão.

Um estado eletrónico quântico descreve energias e distribuições de probabilidade; não é simplesmente uma trajetória clássica desconhecida.

Depois de duas meias-vidas a amostra original desaparece.

O valor esperado restante é um quarto. A lei descreve a população de um radionuclídeo e admite flutuações estatísticas.

Atividade mede diretamente toda a energia ou todo o efeito da radiação.

Becquerel mede transformações por segundo. Energia por evento, produtos, material e geometria são informações adicionais.

E = mc² significa que a energia cinética é sempre mc².

mc² é energia de repouso. Para uma partícula livre com massa, E total = γmc² e K = (γ − 1)mc².