Exponenciais e logaritmos

Revisão: expoentes, raízes e percentagens

Para um inteiro n positivo, aⁿ é um produto de n fatores iguais. Para a ≠ 0, definimos a⁰ = 1 e a⁻ⁿ = 1/aⁿ para conservar as leis das potências. Se a > 0, os expoentes racionais também têm interpretação por raízes: a^1/2 = √a e a^2/3 = (∛a)². A base positiva permite estender a potência a todos os expoentes reais.

As regras a^x+y = aˣaʸ e (aˣ)ʸ = a^xy traduzem a estrutura multiplicativa. Não autorizam aˣ + aʸ = a^x+y. Por exemplo, 3² + 3³ = 36, enquanto 3⁵ = 243. Identifica sempre se a operação entre potências é soma, produto ou quociente.

Uma taxa de aumento p, escrita em forma decimal, corresponde ao fator 1 + p. Aumentar 8% usa 1,08; diminuir 8% usa 0,92. Se o valor inicial é Q₀ e o fator por período é q, após n períodos Qₙ = Q₀qⁿ. O expoente conta períodos completos a partir do instante inicial n = 0, e não a ordem numa lista que começa em 1.

Uma variável no expoente

A função exponencial básica é f(x) = aˣ, com a > 0 e a ≠ 1, definida para todo x real. Se a > 1, é estritamente crescente; se 0 < a < 1, é estritamente decrescente. Os valores são sempre positivos, a imagem é ]0, +∞[ e f(0) = 1. O eixo horizontal é uma assíntota: a função pode aproximar-se de zero sem o atingir.

A expressão x³ é uma função potência, não exponencial: nela a variável está na base. A expressão (−2)ˣ não define uma função real para todos os x, pois, por exemplo, x = 1/2 exigiria uma raiz quadrada de número negativo. A base 1 daria a função constante 1, sem uma inversa logarítmica que distinguisse expoentes.

Um modelo Q(t) = Q₀aᵗ, com Q₀ > 0, multiplica o valor por a sempre que t aumenta uma unidade. Se a variável tempo é medida em horas, a unidade do expoente deve ser entendida como número de períodos de uma hora. Uma forma dimensional mais explícita é Q(t) = Q₀a^t/τ, em que τ é a duração do período na mesma unidade de t.

A pergunta inversa: qual é o expoente?

Para a > 0, a ≠ 1 e y > 0, define-se log_a y como o único número x tal que aˣ = y. A unicidade vem da monotonia da exponencial: uma mesma saída positiva não pode corresponder a dois expoentes distintos. O logaritmo não é uma divisão por a; é o expoente procurado.

Por exemplo, log₂ 32 = 5 porque 2⁵ = 32; log₄(1/16) = −2 porque 4⁻² = 1/16. Temos log_a 1 = 0 e log_a a = 1. As identidades inversas são log_a(aˣ) = x para todo real x e a^{logₐ y} = y para y > 0.

A função logarítmica tem domínio ]0, +∞[ e imagem ℝ. Trocar entrada e saída reflete os gráficos da exponencial e do seu logaritmo na reta y = x. Para base maior do que 1, o logaritmo cresce; para base entre 0 e 1, decresce. O argumento não pode ser zero nem negativo dentro dos números reais, porque nenhuma potência de base positiva produz esses valores.

Porque produtos se tornam somas

Se u e v são positivos, escreve u = aʳ e v = aˢ. Então uv = a^r+s, pelo que log_a(uv) = r + s = log_a u + log_a v. O mesmo raciocínio com divisão dá log_a(u/v) = log_a u − log_a v. Para u > 0 e k real, log_a(uᵏ) = k log_a u.

Estas propriedades vêm das operações com expoentes. Não existe uma regra geral que transforme log(u + v) em log u + log v. Um contraexemplo basta: na base 10, log(10 + 10) = log 20 ≈ 1,3010, enquanto log 10 + log 10 = 2. Aplicar uma propriedade ao tipo errado de operação muda o valor.

A mudança de base permite calcular log_a y = ln y/ln a, em que ln é o logaritmo de base e, aproximadamente 2,71828. Também podes usar logaritmos de base 10 em numerador e denominador. A fórmula resulta de y = aˣ e de aplicar um logaritmo comum aos dois membros: log y = x log a. Como a ≠ 1, o denominador não é zero.

Resolver equações e conservar o domínio

Se duas potências têm a mesma base positiva diferente de 1, aˣ = aʸ implica x = y. Por exemplo, 5^2x−1 = 125 = 5³ dá 2x − 1 = 3, logo x = 2. Se não há uma base comum conveniente, aplicamos logaritmos aos dois membros positivos e isolamos a incógnita no expoente.

Para equações com logaritmos, regista as condições dos argumentos antes de combinar expressões. Em log₂(x − 1) + log₂(x − 3) = 3, precisamos de x > 3. A regra do produto dá log₂[(x − 1)(x − 3)] = 3, logo (x − 1)(x − 3) = 8. A equação quadrática pode produzir candidatos fora do domínio original; têm de ser rejeitados.

Em inequações, a monotonia decide se a ordem se conserva. Aplicar logaritmo de base maior do que 1 conserva a ordem entre argumentos positivos; base entre 0 e 1 inverte-a. O mesmo cuidado aparece ao dividir por ln a, que é negativo quando 0 < a < 1. Verificar valores de teste ajuda a conferir o sentido do intervalo obtido.

Tempo de duplicação, decaimento e limites

Se Q(t) = Q₀aᵗ e a > 1, o tempo T de duplicação satisfaz Q(t + T)/Q(t) = aᵀ = 2. Logo T = ln 2/ln a. Não depende do instante inicial t dentro deste modelo, porque o fator por período é constante. Se 0 < a < 1, o tempo de redução a metade satisfaz aᵀ = 1/2 e é T = ln(1/2)/ln a, positivo por dividir dois números negativos.

Para Q(t) = Q₀e^kt, o produto kt deve ser adimensional: se t está em dias, k tem unidade dia⁻¹. k > 0 dá crescimento e k < 0 dá decaimento. Esta escrita contínua é útil, mas não demonstra que um processo real cresça sem limites. Recursos, condições ambientais ou mudanças de regime podem invalidar o modelo.

Uma resposta para tempo pode precisar de arredondamento contextual. Se uma contagem só é observada no fim de períodos inteiros e o limiar é ultrapassado em t ≈ 4,2, o primeiro registo inteiro acima do limiar será no período 5. Não arredondes simplesmente para 4 se a pergunta exige o primeiro período que satisfaz a condição.

Exemplos resolvidos, sem saltar passos

Acompanha primeiro o raciocínio. Depois tapa a resolução e tenta reconstruí-la com as tuas palavras.

Agora, experimenta tu

Não há cronómetro. Escreve o que sabes, escolhe uma relação e justifica cada passo. As pistas e soluções ficam disponíveis quando precisares.

Erros que vale a pena evitar

Logaritmo é uma fração entre argumento e base.

É o expoente que a base precisa de ter para produzir o argumento.

log(u + v) = log u + log v.

A soma de logaritmos corresponde ao logaritmo de um produto de argumentos positivos.

Todos os candidatos algébricos servem numa equação logarítmica.

Cada argumento original deve continuar estritamente positivo.

Bases exponenciais entre zero e um conservam a ordem dos expoentes.

São decrescentes e invertem essa comparação.