Funções e equações trigonométricas

Rever o círculo e os radianos

No círculo unitário, o ponto final de um ângulo x tem coordenadas (cos x, sen x). Uma volta completa vale 2π rad, correspondendo a 360°. Nesta aula, os argumentos escritos sem símbolo de grau são em radianos. Para recuperar valores exatos, usa os ângulos de referência π/6, π/4 e π/3 e depois escolhe os sinais pelo quadrante.

Por exemplo, sen(7π/6) = −1/2 porque o ângulo fica no terceiro quadrante e tem referência π/6. O cosseno é −√3/2 e a tangente é √3/3. O seno lê a altura do ponto e o cosseno a sua posição horizontal. Esta interpretação permite decidir quantos pontos têm uma altura ou abcissa indicada.

A identidade sen² x + cos² x = 1 vem da equação da circunferência. A tangente é sen x/cos x e exige cos x ≠ 0. Uma identidade é uma igualdade válida em todo o domínio comum; uma equação pede as entradas em que uma igualdade particular acontece. Misturar estas tarefas pode levar a afirmar que uma condição vale para todos os ângulos quando só vale para alguns.

Do ponto a curvas periódicas

Quando x aumenta de 0 a 2π, o seno percorre os valores 0, 1, 0, −1, 0 nos argumentos 0, π/2, π, 3π/2, 2π. O cosseno percorre 1, 0, −1, 0, 1 nesses mesmos argumentos. Entre esses pontos os valores variam continuamente, formando curvas suaves. A tabela organiza pontos notáveis; o círculo explica o comportamento entre eles.

Seno e cosseno têm domínio ℝ e imagem [−1, 1]. Ambos têm período fundamental 2π: f(x + 2π) = f(x) para qualquer x, e não há período positivo menor que funcione para todos os argumentos. O período é uma mudança na entrada que reproduz todo o padrão, não apenas a distância entre dois pontos de mesma altura.

A tangente tem domínio ℝ excluindo π/2 + kπ, com k inteiro, e imagem ℝ. O período fundamental é π, porque avançar meia volta troca simultaneamente os sinais do seno e do cosseno, conservando o quociente. As retas x = π/2 + kπ são assíntotas verticais; a tangente não assume um valor infinito nesses pontos, pois aí não está definida.

Amplitude, linha média e período

Considera y = A sen[B(x − h)] + D, com A ≠ 0 e B ≠ 0. A linha média é y = D, a amplitude é |A| e a imagem é [D − |A|, D + |A|]. O sinal de A pode refletir o gráfico na linha média, mas a amplitude é uma distância e nunca é negativa. A mesma estrutura vale para o cosseno.

Para descobrir o período T, queremos que o argumento mude uma volta completa: |B|T = 2π. Portanto T = 2π/|B|. O parâmetro B não é o período; quanto maior |B|, mais rapidamente o argumento completa voltas e menor é o período. O deslocamento horizontal h lê-se depois de colocar o argumento na forma B(x − h).

Por exemplo, 2 sen(3x − π) + 4 = 2 sen[3(x − π/3)] + 4. A amplitude é 2, a linha média é 4, o período é 2π/3 e o deslocamento é π/3 para a direita. Ler −π como deslocamento direto ignoraria o fator 3. Se A = 0 ou B = 0, a função torna-se constante e a fórmula de período fundamental desta sinusóide não se aplica.

Duas famílias e infinitas voltas

Resolver sen x = a exige primeiro |a| ≤ 1; fora desse intervalo não há solução real. Se α é um ângulo com sen α = a, as famílias gerais são x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ, k inteiro. Nos casos a = ±1, as famílias podem coincidir, devendo eliminar repetições. Geometricamente, uma altura costuma cortar o círculo em dois pontos por volta.

Para cos x = a, com |a| ≤ 1, se cos α = a, temos x = α + 2kπ ou x = −α + 2kπ. Para tan x = a, uma solução α gera x = α + kπ. A tangente admite qualquer valor real a, mas as entradas devem continuar no seu domínio. Um valor principal da calculadora é só um representante, não a lista inteira.

As funções inversas principais escolhem intervalos para dar uma resposta única: arcsen devolve valores em [−π/2, π/2], arccos em [0, π] e arctan em ]−π/2, π/2[. A notação «sen⁻¹» pode aparecer para arcsen numa calculadora; não significa 1/sen. Depois de obter o valor principal, usa simetria e periodicidade para recuperar as restantes soluções pedidas.

Álgebra aplicada a expressões trigonométricas

Uma equação pode ser quadrática em sen x ou cos x. Faz uma substituição temporária, como u = sen x, e resolve a equação polinomial. Depois exige u entre −1 e 1 e volta às famílias trigonométricas. Um candidato u = 2 pode resolver a equação algébrica auxiliar, mas não pode ser seno de um ângulo real.

Fatorizar preserva possibilidades que uma divisão poderia perder. Em sen x cos x = 0, a propriedade do produto nulo dá sen x = 0 ou cos x = 0. Dividir imediatamente por sen x eliminaria todas as soluções em que o seno é zero. Também não é permitido multiplicar uma igualdade por uma expressão indefinida para «cancelar» um denominador.

Se o argumento for 2x, resolve primeiro para esse argumento ou transforma cuidadosamente as famílias. No intervalo 0 ≤ x < 2π, o valor 2x percorre [0, 4π[, isto é, duas voltas. Procurar apenas uma volta de 2x perde soluções. Quando adicionas ou divides fatores nas famílias gerais, o período da incógnita também se altera.

Modelos periódicos e seleção de intervalos

Um modelo periódico representa um fenómeno cujo padrão se repete aproximadamente. Se uma altura oscila entre 2 m e 8 m, a linha média é (2 + 8)/2 = 5 m e a amplitude é (8 − 2)/2 = 3 m. Se o ciclo dura 12 s, o fator angular é 2π/12 = π/6 rad/s. A fase inicial depende de onde o movimento começa e do seu sentido.

Por exemplo, H(t) = 5 − 3 cos(πt/6) começa no mínimo: H(0) = 2. Aos 6 s atinge 8 e aos 12 s volta a 2. O argumento πt/6 é adimensional quando t é medido em segundos com o fator angular correspondente. A amplitude tem a unidade da altura, enquanto o período tem a unidade do tempo.

Quando a pergunta pede «durante o primeiro ciclo», escolhe um intervalo como [0, 12[ ou [0, 12], conforme os extremos declarados. Um instante de fronteira pode pertencer a dois ciclos se ambos forem fechados. A resposta deve listar os instantes admissíveis e não apenas escrever uma família infinita sem a filtrar pelo contexto.

Exemplos resolvidos, sem saltar passos

Acompanha primeiro o raciocínio. Depois tapa a resolução e tenta reconstruí-la com as tuas palavras.

Agora, experimenta tu

Não há cronómetro. Escreve o que sabes, escolhe uma relação e justifica cada passo. As pistas e soluções ficam disponíveis quando precisares.

Erros que vale a pena evitar

A amplitude pode ser negativa.

É |A|, uma distância à linha média.

O fator B é o período da sinusóide.

Para B ≠ 0, o período é 2π/|B|.

A calculadora dá todas as soluções trigonométricas.

Dá um valor principal; o círculo e a periodicidade fornecem as restantes.

Dividir por seno ou cosseno nunca altera as soluções.

Pode eliminar zeros desse fator ou usar pontos fora do domínio.

O intervalo de x também é o intervalo de 2x.

Multiplicar o argumento altera o intervalo percorrido e pode aumentar o número de soluções.